マイヤーの関係式

マイヤーの関係式（マイヤーのかんけいしき、テンプレート:Lang-en）とは、理想気体の2つの熱容量の関係を与える式である。ドイツ人物理学者ユリウス・ロベルト・フォン・マイヤーが、1842年に熱の仕事当量を初めて発表した際に用いたテンプレート:Sfnp。 マイヤーの関係式は理想気体の状態方程式から導かれる関係式であり、理想気体や半理想気体では厳密に成り立つが、実在気体では近似的にのみ成り立つ。

マイヤーの関係式によると、気体の定積熱容量 テンプレート:Mvar と定圧熱容量 テンプレート:Mvar の間には テンプレート:Indent の関係が成立する。ここで テンプレート:Mvar は気体の物質量であり、テンプレート:Mvar はモル気体定数である。この式の両辺を テンプレート:Mvar で割ると、気体の定積モル熱容量 テンプレート:Math と定圧モル熱容量 テンプレート:Math の間の関係式 テンプレート:Indent が得られる。この式の両辺をさらに気体のモル質量 テンプレート:Mvar で割ると、気体の定積比熱 テンプレート:Mvar と定圧比熱 テンプレート:Mvar の間の関係式 テンプレート:Indent が得られる。ここで テンプレート:Math は比気体定数である。

2つの熱容量

物体の温度を1℃上げるのに必要な熱量を、その物体の熱容量という。同じ物体でも、一定の圧力のもとで加熱したときと、物体の体積を一定に保って加熱したときとでは、温度を1℃上げるのに必要な熱量が異なる。一定の圧力下での熱容量を定圧熱容量と呼び、記号 テンプレート:Mvar で表す。体積を一定に保ったときの熱容量を定積熱容量と呼び、記号 テンプレート:Mvar で表す。気体・液体・固体のいずれの場合でも、[[#一般の場合|不等式 テンプレート:Math]] が常に成り立つことが知られているテンプレート:Sfnp。この不等式は、一定圧力のもとで物体の温度を1℃上げるには、体積一定で1℃上げるときよりも熱を余計に加えなければならないことを示している。物体の熱膨張率をゼロとみなせる特別な場合に限って、この「余計な熱」が不要になる。熱膨張率がゼロなら、圧力一定で加熱したときに体積もまた一定に保たれるので テンプレート:Math となるからである。極低温の固体や、4℃付近の水がこの場合に相当するテンプレート:Sfnp。

気体の場合には、圧力一定で加熱したときの「余計な熱」はほとんど全て、気体の熱膨張に伴う仕事に変換される。というのは、気体の内部エネルギー テンプレート:Mvar は、温度が同じであれば体積・圧力が変わってもほとんど変化しないからである。熱力学第一法則により、ある過程における内部エネルギーの変化量 テンプレート:Mvar は、その過程で物体が得た熱量 テンプレート:Mvar からその物体がした仕事 テンプレート:Mvar を引いたものに等しい。気体の場合は、始状態と終状態の温度が同じであれば、定圧過程でも定積過程でも テンプレート:Mvar はほとんど同じになる。よって、定圧過程で気体に加えなければならない熱 テンプレート:Mvar は、定積過程で同じだけ温度を上げるのに必要な熱 テンプレート:Mvar に、定圧過程で気体がする仕事 テンプレート:Mvar を加えたものにほぼ等しい。

理想気体の場合は、始状態と終状態の温度が同じであれば、定圧過程と定積過程の テンプレート:Mvar は正確に一致する（ジュールの法則）。したがって テンプレート:Indent が厳密に成り立つ。

気体の熱容量

物質1モル当たりの熱容量を、モル熱容量という。定積モル熱容量を記号 テンプレート:Math で、定圧モル熱容量を記号 テンプレート:Math で表す。気体のモル熱容量は、気体の種類により異なる。例えば、ヘリウムの テンプレート:Math は テンプレート:Nowrap であり、ブタンの テンプレート:Math は室温で テンプレート:Nowrap 程度である。より複雑な化合物の蒸気の テンプレート:Math はさらに大きい。また、単原子気体などのいくつかの例外を除けば、モル熱容量は温度により変化する。例えば二酸化炭素の テンプレート:Math は100℃で テンプレート:Nowrap であり、0℃での値 テンプレート:Nowrap から10%くらい変わる。

マイヤーの関係式 テンプレート:Indent は、気体の定圧モル熱容量と定積モル熱容量の差 テンプレート:Math が

• 気体の種類には依らないこと
• 温度にも依らないこと

を表している。気体の種類にも温度にも依らない定数 テンプレート:Mvar は、理想気体の状態方程式に現れる、気体定数である。テンプレート:Math が気体の種類や温度によって変わるにもかかわらず、 テンプレート:Math が定数になるのは、定圧過程で気体1モルのする仕事が気体の種類や温度に依らず、加熱前後の温度差だけで決まるからである。このことは、理想気体の状態方程式から導かれる。したがって、 テンプレート:Math が近似的に成り立つ気体では、マイヤーの関係式もまた近似的に成り立つ。理想気体では、マイヤーの関係式が厳密に成り立つ。

導出

導出例1

理想気体の温度、体積、圧力が、テンプレート:Math から テンプレート:Math に変化する過程を考える。無数の過程を考えることができるが、熱力学第一法則によれば、この気体が得た熱量 テンプレート:Mvar から気体がした仕事 テンプレート:Mvar を引いたものは、どの過程でも同じになる。この節では以下の2つの過程を考え、この2つの過程で テンプレート:Math が等しくなることから、マイヤーの関係式を導く。

簡単のため、まずは理想気体の熱容量が温度によらない場合を考える。

準静的な定圧過程

圧力 テンプレート:Mvar を一定に保ったまま、温度が テンプレート:Mvar 上昇するまでゆっくりと加熱したとき、この理想気体の得た熱量は テンプレート:Math と表される。このとき理想気体のした仕事は、状態方程式 テンプレート:Math を用いると テンプレート:Math と表される。したがってこの過程では

$Q-W=C_p\mathrm{\Delta }T-nR\mathrm{\Delta }T$

である。

定積過程、次いで断熱自由膨張

体積 テンプレート:Mvar を一定に保って温度が テンプレート:Mvar 上昇するまで加熱したときは、この理想気体の得た熱量は テンプレート:Math と表され、仕事はゼロである。引き続いて テンプレート:Mvar だけ気体を断熱自由膨張させる。ジュールの法則より、断熱自由膨張では理想気体の温度は変わらないのでテンプレート:Sfnp、膨張後の気体の温度は、膨張前の温度 テンプレート:Math に等しい。断熱自由膨張では テンプレート:Math だから、この過程では

$Q-W=C_V\mathrm{\Delta }T$

である。

始状態と終状態が同じなので、熱力学第一法則より、この2つの過程の テンプレート:Math は等しい。 テンプレート:Indent 両辺を テンプレート:Mvar で割るとマイヤーの関係式 テンプレート:Indent が導かれる。

理想気体の熱容量が温度によって変わる場合は、温度 テンプレート:Mvar における定積熱容量を テンプレート:Math、定圧熱容量を テンプレート:Math とすれば テンプレート:Indent となる。この式で テンプレート:Math の極限を取れば、マイヤーの関係式 テンプレート:Indent が導かれる。

導出例2

この節では、定積熱容量と定圧熱容量の間に成り立つ、一般的な関係式をまず導く。そして、この関係式を理想気体に適用してマイヤーの関係式を導く。

定積熱容量および定圧熱容量は系の内部エネルギー テンプレート:Mvar、あるいはエンタルピー テンプレート:Mvar の偏微分として テンプレート:Indent で与えられる。エンタルピーは、体積 テンプレート:Mvar と圧力 テンプレート:Mvar により テンプレート:Indent で定義される。

従って、偏微分の連鎖律を用いると テンプレート:Indent となり、関係式 テンプレート:Indent が得られる。さらに熱力学的状態方程式 テンプレート:Indent を用いれば テンプレート:Indent となる。

理想気体の状態方程式 テンプレート:Math を テンプレート:Math を独立変数として テンプレート:Mvar で偏微分すれば テンプレート:Indent であり、テンプレート:Math を テンプレート:Math を独立変数として テンプレート:Mvar で偏微分すれば テンプレート:Indent であるので、これらを用いれば テンプレート:Indent が導かれる。

関係式の一般化

導出例2で得られた関係式 テンプレート:Indent および テンプレート:Indent は理想気体の性質を用いておらず、実在気体や液体、固体を問わず温度、圧力、体積を状態変数として表される系であれば成り立つ関係式である。

気体の場合は良い精度で テンプレート:Math とみなせるので、この関係式の右辺は、気体が外部になす仕事に帰せられる。これに対して凝縮系である液体や固体の場合は テンプレート:Math が テンプレート:Mvar と比べて無視できないほど大きいので、関係式の右辺は物体が外部になす仕事とは無関係になるテンプレート:Sfnp。

さらに熱膨張係数 テンプレート:Mvar と等温圧縮率 テンプレート:Mvar を用いれば、偏微分がそれぞれ テンプレート:Indent と表わされるので テンプレート:Indent が得られるテンプレート:Sfnp。 この関係式の右辺の テンプレート:Mvar はいずれも正の値をとるため、テンプレート:Math のとき テンプレート:Math であり、テンプレート:Math のとき テンプレート:Math であることが分かる。

ファン・デル・ワールス気体

実在気体のモデルとしてファン・デル・ワールス気体を考える。ファンデルワールスの状態方程式 テンプレート:Indent から偏微分が テンプレート:Indent テンプレート:Indent と得られるので、ファン・デル・ワールス気体では熱容量の差に対して テンプレート:Indent が成り立つ。圧力 テンプレート:Mvar の1次の項までの近似では最右辺で テンプレート:Math としてよいから テンプレート:Indent となる。この式は

• 実在気体では熱容量の差が、温度、圧力、気体の種類に依存すること
• 低温・高圧でマイヤーの関係式からのずれが大きくなること
• 分子間の引力（ファンデルワールス力）を表すパラメータ テンプレート:Mvar が大きい気体ほど、ずれが大きいこと
• 分子の大きさ（排除体積）を表すパラメータ テンプレート:Mvar は、ずれにそれほど影響しないこと

を表している。

液体および固体

水は1気圧・4℃で テンプレート:Math となるから、4℃の水の定圧熱容量と定積熱容量は等しい。4℃より低い温度では水の熱膨張率は負 (テンプレート:Math) であるが、熱容量の差は テンプレート:Math に比例するので、0℃～4℃の温度範囲でも テンプレート:Math である。4℃以上では温度とともに熱容量差は増大し、沸点では テンプレート:Math に対し テンプレート:Math となる。

多くの液体では、モル熱容量の差 テンプレート:Math は テンプレート:Math と比べてもかなり大きな値になる。例えば、典型的な有機溶剤である二硫化炭素、四塩化炭素、ベンゼン、クロロホルムの テンプレート:Math は室温で31%ないし38%である。これらの物質が蒸気になると テンプレート:Math はずっと小さくなる。例えばベンゼンでは テンプレート:Math である。

固体の場合の テンプレート:Math は液体の場合よりもずっと小さく、室温付近では高々 テンプレート:Math の10%程度である。温度が低くなると テンプレート:Mvar は漸近的にゼロになるので、極低温では熱容量の差はゼロになる。例として銅のモル熱容量の温度依存性を表に示す。

銅のモル熱容量テンプレート:Sfnp

テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
50	5.8	5.8
100	16.2	16.2
200	22.6	22.3
500	26.2	24.9
800	28.0	25.7
1200	30.7	26.5

表から、液体窒素温度では2つの熱容量が一致すること、高温になるほど熱容量の差が大きくなること、温度依存性は テンプレート:Math の方が テンプレート:Math よりも大きいこと、500ケルビンで テンプレート:Math となること（デュロン＝プティの法則）が分かる。

実験的には、固体の体積を一定に保って加熱するのは、固体にかかる圧力を一定に保って加熱するのに比べて、はるかに難しいテンプレート:Sfnp。そのため固体の テンプレート:Math は、テンプレート:Math の実測値とモル体積 テンプレート:Math、熱膨張率 テンプレート:Mvar、等温圧縮率 テンプレート:Mvar から計算されるのが普通であり、上に示した表の テンプレート:Math は実測値ではなく、この熱力学関係式から計算された値である。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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