マクスウェル・ベティの相反作用の定理

マクスウェル・ベティの相互作用の定理（マクスウェル・ベティのそうごさようのていり、テンプレート:Lang-en）とは、構造力学における弾性体の定理である。1872年、エンリコ・ベッチによって発見された。弾性体上に2種類の荷重群$\{P_i|i=1,2,\dots \},\{P{\text{'}}_k|k=1,2,\dots \}$をかけることを考える。一つ目の荷重群$\{P_i\}$のみをかけたときにもう一方の荷重群$\{P{\text{'}}_k\}$の作用点の作用方向変位成分を$\{u_k\}$とする。また、荷重群$\{P{\text{'}}_k\}$のみをかけたときの$\{P_i\}$の作用点の作用方向変位成分を$\{u{\text{'}}_i\}$とする。このときベティの相反定理：

$\sum _i{P}_{i}u{\text{'}}_i=\sum _{k}P{\text{'}}_k{u}_k$

が成り立つ。

特にテンプレート:Mathとすると、マクスウェルの相反定理：

任意の点Aに作用する単位荷重テンプレート:Mathによって他の点Bに生じる変位（の、別に点Bに作用される単位荷重テンプレート:Mathの方向への成分）テンプレート:Mathは、テンプレート:Mathによる点Aのテンプレート:Mathの方向への変位量（の、テンプレート:Mathの方向への成分）テンプレート:Mathに等しい。すなわち

$u{\text{'}}_A=u_B$

が成り立つ。

証明

簡単な証明としてテンプレート:Mathとし、弾性体に力P_AとP_Bの2つの荷重を作用させる。ただし作用させる手順は次の2通りを考える。

• テンプレート:Mathを作用させた後、テンプレート:Mathを作用させる。このとき、
  1. テンプレート:Mathを作用させた際の点Aの変位をテンプレート:Mathとすると、外力仕事はテンプレート:Math
  2. その後テンプレート:Mathを作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれテンプレート:Mathとすると、外力仕事はテンプレート:Math
• テンプレート:Mathを作用させた後、テンプレート:Mathを作用させる。このとき、
  1. テンプレート:Mathを作用させた際の点Bの変位をテンプレート:Mathとすると、外力仕事はテンプレート:Math
  2. その後テンプレート:Mathを作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれテンプレート:Mathとすると、外力仕事はテンプレート:Math

弾性体に蓄えられるひずみエネルギーは経路によらないため、それぞれの手順による外力仕事の和は同じでなければならない。したがって

$\begin{array}{cc}\left(\frac{1}{2}{P}_A{u}_{AA}\right)+(\frac{1}{2}{P}_B{u}_{BB}+P_A{u}_{AB})& =\left(\frac{1}{2}{P}_B{u}_{BB}\right)+(\frac{1}{2}{P}_A{u}_{AA}+P_B{u}_{BA})\\ \therefore P_A{u}_{AB}& =P_B{u}_{BA}\\ \end{array}$

が成り立つ。

関連項目

• ダランベールの原理
• 相反定理