マンデルスタム表示

マンデルスタム表示（マンデルスタムひょうじ）とは、素粒子の散乱振幅の積分表示のひとつ。二体反応$A+B\to C+D$の振幅は、エネルギーと移行運動量のように2つの独立な変数の関数である。そこでスタンリー・マンデルスタムは、この2変数の関数としての散乱振幅の解析性を示す表示を提案した。これがマンデルスタム表示と呼ばれる。

マンデルスタム変数

マンデルスタムはsチャンネルの反応と呼ばれる$A+B\to C+D$という反応を考え、$s=-(p_1+p_2{)}^2$，$t=-(p_1-p_3{)}^2$，$u=-(p_1-p_4{)}^2$という3変数を導入した。これらをマンデルスタム変数と呼ぶが、$s+t+u=m_A^2+m_B^2+m_C^2+m_D^2$で結びついているので独立な変数は2個である。変数sはAとBの重心系におけるエネルギーの二乗を表し、tはAからCへの（移行運動量）²を表し、uはAからDへの（移行運動量）²を表す。

マンデルスタム表示で重要なのは、この表示が同時に次の2つの反応を表すことである。

$A+\overline{C}\to D+\overline{B}$・・・「tチャンネルの反応」

$A+\overline{D}\to C+\overline{B}$・・・「uチャンネルの反応」

ここで$\overline{B},\overline{C},\overline{D}$は$B,C,D$の反粒子である。反応振幅は互いに解析接続で結ばれている。3つの反応の振幅$A(s,t,u)$はスペクトル関数${\rho }_{st}(s,t),{\rho }_{su}(s,u),{\rho }_{tu}(t,u)$を使って以下のように書くことができる。

$A(s,t,u)=\frac{1}{{\pi }^2}\int \int \frac{{\rho }_{st}(s^{\prime },t^{\prime })}{(s^{\prime }-s)(t^{\prime }-t)}d{s}^{\prime }d{t}^{\prime }+\frac{1}{{\pi }^2}\int \int \frac{{\rho }_{su}(s^{\prime },u^{\prime })}{(s^{\prime }-s)(u^{\prime }-u)}d{s}^{\prime }d{u}^{\prime }+\frac{1}{{\pi }^2}\int \int \frac{{\rho }_{tu}(t^{\prime },u^{\prime })}{(t^{\prime }-t)(u^{\prime }-u)}d{t}^{\prime }d{u}^{\prime }$

参考文献

• テンプレート:Cite

関連項目

• S行列の理論