ヤングの定理

ヤングの定理（ヤングのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、ある条件の下で多変数関数に対する偏微分の順序を交換できることを述べる定理である（下記参照）。ヤングの定理はしばしば二階導関数の対称性（テンプレート:Lang-en-short）、または混合微分の等価性（テンプレート:Lang-en-short）とも呼ばれる。テンプレート:Mvar 変数の関数 テンプレート:Math について、テンプレート:Mvar に関する偏導関数を テンプレート:Mvar のように下付きの添え字 テンプレート:Mvar で表せば、二階導関数の対称性とは、二階の偏導関数 テンプレート:Mvar とは、関数 テンプレート:Mvar が

$f_{ij}=f_{ji}$

を満たすことをいう。このとき関数 テンプレート:Mvar の二階導関数 テンプレート:Mvar が成す行列（ヘッセ行列）は テンプレート:Mvar 次対称行列を成す。

偏微分方程式の文脈では、それはシュワルツの可積分条件（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる。

ヘッセ行列

テンプレート:Mvar の二階偏導関数からなる テンプレート:Math の行列 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のヘッセ行列と呼ばれる。主対角線を除いた成分は混合導関数（テンプレート:Lang-en-short）である。つまり、異なる変数に関する逐次導関数である。

大抵の「実生活の」状況においてはヘッセ行列は対称である。しかしながら、対称性を持たない関数の例はとても多く、解析学は、関数 テンプレート:Mvar にこの対称性を仮定することが、単に テンプレート:Mvar の二階導関数が特定の点で存在することよりも強い要求であることを明らかにする。シュワルツの定理はこれが起こる テンプレート:Mvar についての十分条件を与える。

形式的表現

二階偏導関数の対称性はたとえば、記号的には、

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$

であると言い表せる。この等式は

${\partial }_x{\partial }_{y}f={\partial }_y{\partial }_{x}f$

とも書ける。あるいは、対称性は テンプレート:Mvar についての偏導関数を取る微分作用素 テンプレート:Mvar に関する代数的ステートメントとしても書ける：

$D_i\cdot D_j=D_j\cdot D_i.$

この関係から テンプレート:Mvar によって生成される定数係数を持つ微分作用素の環が可換であることが従う。しかしもちろんこれらの作用素の定義域を明確にしなければならない。単項式が対称性を持つことを確認するのは容易であり、したがって定義域として テンプレート:Mvar たちの多項式を取ることができる。実際には滑らかな関数を定義域にとることが可能である。

シュワルツの定理テンプレート:Anchors

解析学において、シュワルツの定理（テンプレート:Lang-en-short）またはクレローの定理（テンプレート:Lang-en-shortテンプレート:Sfn）とは、ヘルマン・シュワルツ テンプレート:De とアレクシス・クレロー テンプレート:Fr に因む定理で、次のことを述べる：

$f:{ℝ}^n\to ℝ$

が テンプレート:Math 上の与えられた任意の点 テンプレート:Math で連続な二階偏導関数を持つなら、それらの偏導関数は以下の関係を満たす。

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(a_1,\dots ,a_n)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n)\mathrm{\forall }i,j\in \{1,2,\dots ,n\}.$

すなわち、この関数の偏微分は点 テンプレート:Math でテンプレート:仮リンクである。（テンプレート:Math の場合に、これから直ちに一般の結果が従うが）この定理を証明する簡単な方法として、1 つにはグリーンの定理を テンプレート:Mvar の勾配に適用する方法がある。

超関数による定式化

シュワルツの超関数の理論は対称性の解析的問題を除去する。任意の可積分関数の導関数は超関数として定義でき、この意味で、混偏導関数の対称性は常に成り立つ。超関数の微分は形式的な部分積分によって定義され、偏導関数の対称性の問題はテスト関数の対称性に帰着するが、テスト関数は滑らかであり確かにこの対称性を満たす。より詳細には、テンプレート:Mvar をテスト関数上の作用素として書かれた超関数、テンプレート:Mvar をテスト関数として、

$(D_1{D}_{2}f)[\varphi ]=-(D_{2}f)[D_1\varphi ]=f[D_2{D}_1\varphi ]=f[D_1{D}_2\varphi ]=-(D_{1}f)[D_2\varphi ]=(D_2{D}_{1}f)[\varphi ].$

別のアプローチとして、関数のフーリエ変換を定義する方法がある。そのような変換の下では、偏微分は乗算作用素になり、それらは明らかに交換する。

連続性の要求

関数がクレローの定理の仮定を満たさない場合、例えば導関数が連続でないとき、偏導関数の対称性は成り立たないことがある。

方程式 テンプレート:EquationNote において示されている関数 テンプレート:Math は原点において対称な二階微分を持たない。

非対称な関数の例： テンプレート:NumBlk この関数はいたるところで連続だが、その代数的導関数は原点においてテンプレート:仮リンクである。テンプレート:Mvar 軸に沿って テンプレート:Mvar 導関数は テンプレート:Math であり、したがって：

${\partial }_x{\partial }_{y}f{|}_{(0,0)}=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{{\partial }_{y}f{|}_{(ϵ,0)}-{\partial }_{y}f{|}_{(0,0)}}{ϵ}=1.$

同様に テンプレート:Mvar 軸に沿って テンプレート:Mvar 導関数 は テンプレート:Math であり、したがって テンプレート:Math である。つまり、テンプレート:Math においては、テンプレート:Math であり、この関数の混偏導関数が存在し他のすべての点において対称性を持つにもかかわらず、原点では非対称である。

一般に、テンプレート:仮リンクは可換であるとは限らない。テンプレート:Math の近くの二変数と、テンプレート:Math を最初にするのに対応するのと テンプレート:Math を最初にするのに対応する

$f(h,k)-f(h,0)-f(0,k)+f(0,0)$

上の 2 つの極限過程が与えられると、一次の項を見て、どちらが最初に適用されるかが問題になり得る。これは二階導関数が対称でない病的な例の構成を導く。この種の例は関数の各点ごとの値が問題になる実解析 (real analysis) の理論に属する。超関数と見たときには二階偏導関数の値は任意の点集合においてこれがルベーグ測度 テンプレート:Math である限り変えることができる。上の例においてヘッセ行列は テンプレート:Math を除いていたるところ対称であるから、シュワルツの超関数と見てヘッセ行列が対称であるという事実と全く矛盾はない。

リー代数

一階微分作用素 テンプレート:Mvar をユークリッド空間上のテンプレート:仮リンクと考える。つまり、テンプレート:Mvar はある意味 テンプレート:Mvar 軸に平行な変換の テンプレート:仮リンクを生成する。これらの群は互いに交換し、したがって無限小生成元もそうである。リーブラケット

$[D_i,D_j]=0$

はこの性質の反映である。言い換えると、別の座標に関する 1 つの座標のリー微分は テンプレート:Math である。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:SpringerEOM

関連項目

• ヘッセ行列
• 滑らかな関数
• フーリエ変換
• シュワルツの超関数
• リー代数