ラプラスの方法

数学においてラプラスの方法（らぷらすのほうほう、テンプレート:Lang-en-short）とは、ピエール＝シモン・ラプラスにちなんだ積分

\int_{a}^{b} e^{n f (x)} d x

の近似に用いられる方法。ここでテンプレート:Math は二回連続微分可能な関数、テンプレート:Mvar は大きな数で、端点テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar は有限でなくともよい。この方法はテンプレート:Harvtxt で初めて用いられた。

ラプラスの方法のアイディア

関数テンプレート:Math が点テンプレート:Math においてのみ最大値をとると仮定する。数テンプレート:Mvar に対して、次の関数を考える。

\begin{matrix} g (x) & = n f (x) \\ h (x) & = e^{n f (x)} \end{matrix}

点テンプレート:Math において関数テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar も最大値をとることに注意する。また、このとき

\begin{matrix} \frac{g (x_{0})}{g (x)} & = \frac{n f (x_{0})}{n f (x)} = \frac{f (x_{0})}{f (x)} \\ \frac{h (x_{0})}{h (x)} & = \frac{e^{n f (x_{0})}}{e^{n f (x)}} = e^{n (f (x_{0}) - f (x))} \end{matrix}

である。

数テンプレート:Mvar が大きくなるにつれてテンプレート:Mvar の比は指数的に大きくなる一方でテンプレート:Mvar の比は変化しない。したがって、関数の積分における支配的な寄与は点テンプレート:Math の近傍における点テンプレート:Mvar のみから来るため近似ができる。

f (x_{0}) = \max_{a \leq x \leq b} f (x), f^{″} (x_{0}) < 0

を満たすと仮定する。このとき

\int_{a}^{b} e^{n f (x)} d x \sim e^{n f (x_{0})} \sqrt{\frac{2 π}{n | f^{″} (x_{0}) |}} (n \to \infty)

である^[1]。（ここでテンプレート:Math は両辺の比がテンプレート:Math の極限でテンプレート:Math に収束することを意味する。）

ラプラスの方法は

\int_{a}^{b} g (x) e^{n f (x)} d x \sim g (x_{0}) e^{n f (x_{0})} \sqrt{\frac{2 π}{n | f^{″} (x_{0}) |}} (n \to \infty)

と書かれることもある。

n! \sim n^{n} e^{- n} \sqrt{2 π n} (n \to \infty)

の導出に用いることができる。ガンマ関数の定義から

n! = Γ (n + 1) = \int_{0}^{\infty} e^{- t} t^{n} d t

が得られる。変数変換テンプレート:Math を考えるとテンプレート:Math ゆえ

\begin{matrix} n! & = \int_{0}^{\infty} e^{- n x} (n x)^{n} n d x \\ = n^{n + 1} \int_{0}^{\infty} e^{- n x} x^{n} d x \\ = n^{n + 1} \int_{0}^{\infty} e^{- n x} e^{n \ln x} d x \\ = n^{n + 1} \int_{0}^{\infty} e^{n (\ln x - x)} d x . \end{matrix}

この積分はラプラスの方法が適用できる形である。いまテンプレート:Math とおけば、これは二階微分可能で、

f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1, f^{″} (x) = - \frac{1}{x^{2}} .

n! \sim n^{n + 1} e^{- n} \sqrt{\frac{2 π}{n}} = n^{n} e^{- n} \sqrt{2 π n} (n \to \infty)

となる。