ランデン変換

ランデン変換 (Landen's transformation) は、数学において楕円積分や楕円関数の母数を増減させる恒等式。楕円関数の数値計算に有用である。

楕円積分のランデン変換とガウス変換

第一種楕円積分 テンプレート:Indent につき、次の恒等式をランデン変換という。 テンプレート:Indent 同じく、次の恒等式をガウス変換という。 テンプレート:Indent

ランデン変換の導出

ランデン変換は テンプレート:Indent の置換により導かれる。 テンプレート:Indent $\sin \beta$を陽にすると テンプレート:Indentである。

ガウス変換の導出

ガウス変換は テンプレート:Indent の置換により導かれる。 テンプレート:Indent $\sin \beta$を陽にすると テンプレート:Indentである。

楕円関数のランデン変換

次の恒等式を楕円関数の上昇ランデン変換という。 テンプレート:Indent 次の恒等式を楕円関数の下降ランデン変換という。 テンプレート:Indent 当初の母数が$0<k<1$であれば、上昇ランデン変換は母数を増加させ、下降ランデン変換は母数を減少させる。上昇ランデン変換を繰り返すことにより、母数が1に収束し、楕円関数は双曲線関数に近似される。下降ランデン変換を繰り返すことにより、母数が0に収束し、楕円関数は三角関数に近似される。この性質により、ランデン変換は楕円関数の数値計算に有用である。

導出

楕円積分のランデン変換により テンプレート:Indent のときに テンプレート:Indent であるから テンプレート:Indent である。楕円積分のガウス変換により テンプレート:Indent のときに テンプレート:Indent であるから テンプレート:Indent であるが、$u$を$\frac{u}{1+k}$に改め、$k$を$\frac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}$に改めれば テンプレート:Indentとなる。

虚数変換

上昇ランデン変換と下降ランデン変換は虚数変換により交替する。 テンプレート:Indent 上昇ランデン変換により テンプレート:Indent 虚数変換により テンプレート:Indent $iu$を$u$と書き、$\sqrt{1-k^2}$を$k$と書けば テンプレート:Indent となるが、これは下降ランデン変換である。

出典

• Wolfram MathWorld: Landen's Transformation
• Wolfram MathWorld: Gauss's Transformation
• Abramowitz and Stegun p.573