三十七角形

正三十七角形

三十七角形（さんじゅうしちかくけい、さんじゅうななかっけい、triacontaheptagon）は、多角形の一つで、37本の辺と37個の頂点を持つ図形である。内角の和は6300°、対角線の本数は629本である。

正三十七角形

正三十七角形においては、中心角と外角は9.729…°で、内角は170.27…°となる。一辺の長さが a の正三十七角形の面積 S は

$S=\frac{37}{4}{a}^2\cot \frac{\pi }{37}\simeq 108.67963a^2$

$\cos (2\pi /37)$を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式→三次方程式（2つ）→二次方程式と解く必要がある。

以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。

$\begin{array}{cc}{\lambda }_1=& 2\cos \frac{2\pi }{37}+2\cos \frac{12\pi }{37}+2\cos \frac{16\pi }{37}+2\cos \frac{20\pi }{37}+2\cos \frac{22\pi }{37}+2\cos \frac{28\pi }{37}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{37}}{3}\sqrt[3]{\frac{-11+3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}}{\omega }^2+\frac{\sqrt{37}}{3}\sqrt[3]{\frac{-11-3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}}\omega \\ {\lambda }_2=& 2\cos \frac{4\pi }{37}+2\cos \frac{18\pi }{37}+2\cos \frac{24\pi }{37}+2\cos \frac{30\pi }{37}+2\cos \frac{32\pi }{37}+2\cos \frac{34\pi }{37}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{37}}{3}\sqrt[3]{\frac{-11+3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}}\omega +\frac{\sqrt{37}}{3}\sqrt[3]{\frac{-11-3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}}{\omega }^2\\ {\lambda }_3=& 2\cos \frac{6\pi }{37}+2\cos \frac{8\pi }{37}+2\cos \frac{10\pi }{37}+2\cos \frac{14\pi }{37}+2\cos \frac{26\pi }{37}+2\cos \frac{36\pi }{37}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{37}}{3}\sqrt[3]{\frac{-11+3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}}+\frac{\sqrt{37}}{3}\sqrt[3]{\frac{-11-3\sqrt{3}i}{2\sqrt{37}}}\\ \end{array}$

各式を3つの組に分ける。$\cos \frac{k\pi }{37}$と$\cos \frac{2^{9}k\pi }{37}(=\cos \frac{-6k\pi }{37})$

$\begin{array}{cc}{\lambda }_1=& (2\cos \frac{2\pi }{37}+2\cos \frac{12\pi }{37})+(2\cos \frac{20\pi }{37}+2\cos \frac{28\pi }{37})+(2\cos \frac{16\pi }{37}+2\cos \frac{22\pi }{37})=u_1+u_2+u_3\\ {\lambda }_2=& (2\cos \frac{4\pi }{37}+2\cos \frac{24\pi }{37})+(2\cos \frac{30\pi }{37}+2\cos \frac{32\pi }{37})+(2\cos \frac{18\pi }{37}+2\cos \frac{34\pi }{37})=v_1+v_2+v_3\\ {\lambda }_3=& (2\cos \frac{10\pi }{37}+2\cos \frac{14\pi }{37})+(2\cos \frac{6\pi }{37}+2\cos \frac{36\pi }{37})+(2\cos \frac{8\pi }{37}+2\cos \frac{26\pi }{37})=w_1+w_2+w_3\\ \end{array}$

和積公式で変形する。また、$\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$ の関係を使って変形する。

$\begin{array}{cc}{\lambda }_1=& (2\cos \frac{30\pi }{37}\cdot 2\cos \frac{32\pi }{37})+(2\cos \frac{4\pi }{37}\cdot 2\cos \frac{24\pi }{37})+(2\cos \frac{18\pi }{37}\cdot 2\cos \frac{34\pi }{37})=u_1+u_2+u_3\\ {\lambda }_2=& (2\cos \frac{10\pi }{37}\cdot 2\cos \frac{14\pi }{37})+(2\cos \frac{6\pi }{37}\cdot 2\cos \frac{36\pi }{37})+(2\cos \frac{8\pi }{37}\cdot 2\cos \frac{26\pi }{37})=v_1+v_2+v_3\\ {\lambda }_3=& (2\cos \frac{2\pi }{37}\cdot 2\cos \frac{12\pi }{37})+(2\cos \frac{16\pi }{37}\cdot 2\cos \frac{22\pi }{37})+(2\cos \frac{20\pi }{37}\cdot 2\cos \frac{28\pi }{37})=w_1+w_2+w_3\\ \end{array}$

解と係数の関係を使って二次方程式を解くと

$\cos \frac{2\pi }{37}=\frac{u_1+\sqrt{u_1^2-4w_1}}{4}$

ここで、$u_1,w_1$は以下の三次方程式の解である。

$u^3-{\lambda }_1{u}^2+({\lambda }_2-1)u+({\lambda }_1-2)=0$

$w^3-{\lambda }_3{w}^2+({\lambda }_1-1)w+({\lambda }_3-2)=0$

三角関数、逆三角関数を用いた解は

$u_1=\frac{{\lambda }_1}{3}+\frac{2\sqrt{11-2{\lambda }_1-2{\lambda }_2}}{3}\cdot \cos (\frac{1}{3}\arccos \frac{111-4{\lambda }_1-9{\lambda }_2}{62\sqrt{11-2{\lambda }_1-2{\lambda }_2}})$

$w_1=\frac{{\lambda }_3}{3}+\frac{2\sqrt{11-2{\lambda }_3-2{\lambda }_1}}{3}\cdot \cos (\frac{1}{3}\arccos \frac{111-4{\lambda }_3-9{\lambda }_1}{62\sqrt{11-2{\lambda }_3-2{\lambda }_1}})$

平方根、立方根で表すと

$\begin{array}{c}{u}_1=\frac{{\lambda }_1}{3}+\frac{2\sqrt{11-2{\lambda }_1-2{\lambda }_2}}{3}\sqrt[3]{\frac{111-4{\lambda }_1-9{\lambda }_2}{62\sqrt{11-2{\lambda }_1-2{\lambda }_2}}+i\frac{\sqrt{27(1092-253{\lambda }_1-205{\lambda }_2)}}{62\sqrt{11-2{\lambda }_1-2{\lambda }_2}}}\\ +\frac{2\sqrt{11-2{\lambda }_1-2{\lambda }_2}}{3}\sqrt[3]{\frac{111-4{\lambda }_1-9{\lambda }_2}{62\sqrt{11-2{\lambda }_1-2{\lambda }_2}}-i\frac{\sqrt{27(1092-253{\lambda }_1-205{\lambda }_2)}}{62\sqrt{11-2{\lambda }_1-2{\lambda }_2}}}\end{array}$

$\begin{array}{c}{w}_1=\frac{{\lambda }_3}{3}+\frac{2\sqrt{11-2{\lambda }_3-2{\lambda }_1}}{3}\sqrt[3]{\frac{111-4{\lambda }_3-9{\lambda }_1}{62\sqrt{11-2{\lambda }_3-2{\lambda }_1}}+i\frac{\sqrt{27(1092-253{\lambda }_3-205{\lambda }_1)}}{62\sqrt{11-2{\lambda }_3-2{\lambda }_1}}}\\ +\frac{2\sqrt{11-2{\lambda }_3-2{\lambda }_1}}{3}\sqrt[3]{\frac{111-4{\lambda }_3-9{\lambda }_1}{62\sqrt{11-2{\lambda }_3-2{\lambda }_1}}-i\frac{\sqrt{27(1092-253{\lambda }_3-205{\lambda }_1)}}{62\sqrt{11-2{\lambda }_3-2{\lambda }_1}}}\end{array}$

別解

$\cos (2\pi /37)$を二次方程式→三次方程式→三次方程式の順で求めることもできる。 まず、以下のようにx1～x6を定める。

$\begin{array}{cc}& x_1=2\cos \frac{2\pi }{37}+2\cos \frac{20\pi }{37}+2\cos \frac{22\pi }{37}\\ & x_2=2\cos \frac{4\pi }{37}+2\cos \frac{34\pi }{37}+2\cos \frac{30\pi }{37}\\ & x_3=2\cos \frac{8\pi }{37}+2\cos \frac{6\pi }{37}+2\cos \frac{14\pi }{37}\\ & x_4=2\cos \frac{16\pi }{37}+2\cos \frac{12\pi }{37}+2\cos \frac{28\pi }{37}\\ & x_5=2\cos \frac{32\pi }{37}+2\cos \frac{24\pi }{37}+2\cos \frac{18\pi }{37}\\ & x_6=2\cos \frac{10\pi }{37}+2\cos \frac{26\pi }{37}+2\cos \frac{36\pi }{37}\\ \end{array}$

α、βを以下のように置き

$\begin{array}{cc}& \alpha =x_1+x_3+x_5\\ & \beta =x_2+x_4+x_6\\ \end{array}$

α、βの和と差の平方を求めると

$\begin{array}{cc}& \alpha +\beta =-1\\ & (\alpha -\beta {)}^2=37\\ \end{array}$

となる。よって、

$\begin{array}{cc}& x_1+x_3+x_5=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}\\ & x_2+x_4+x_6=\frac{-1-\sqrt{37}}{2}\\ \end{array}$

さらに以下の値A,B,C,Dも三角関数の積和の公式から求まる。

$\begin{array}{cc}{(x_3+\omega \cdot x_5+{\omega }^2\cdot x_1)}^3=& A=\frac{-37-8\sqrt{37}-3\sqrt{3}(37+6\sqrt{37})i}{2}\\ {(x_3+{\omega }^2\cdot x_5+\omega \cdot x_1)}^3=& B=\frac{-37-8\sqrt{37}+3\sqrt{3}(37+6\sqrt{37})i}{2}\\ {(x_4+\omega \cdot x_6+{\omega }^2\cdot x_2)}^3=& C=\frac{-37+8\sqrt{37}-3\sqrt{3}(37-6\sqrt{37})i}{2}\\ {(x_4+{\omega }^2\cdot x_6+\omega \cdot x_2)}^3=& D=\frac{-37+8\sqrt{37}+3\sqrt{3}(37-6\sqrt{37})i}{2}\\ \end{array}$

両辺の立方根を取ると

$\begin{array}{cc}{x}_3+\omega \cdot x_5+{\omega }^2\cdot x_1=& \sqrt[3]{A}\\ x_3+{\omega }^2\cdot x_5+\omega \cdot x_1=& \sqrt[3]{B}\\ x_4+\omega \cdot x_6+{\omega }^2\cdot x_2=& \sqrt[3]{C}\\ x_4+{\omega }^2\cdot x_6+\omega \cdot x_2=& \sqrt[3]{D}\\ \end{array}$

以上より、x1～x6が求まる。

$\begin{array}{cc}{x}_1=& \frac{\alpha +\omega \sqrt[3]{A}+{\omega }^2\sqrt[3]{B}}{3}\\ x_3=& \frac{\alpha +\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}}{3}\\ x_5=& \frac{\alpha +{\omega }^2\sqrt[3]{A}+\omega \sqrt[3]{B}}{3}\\ x_2=& \frac{\beta +\omega \sqrt[3]{C}+{\omega }^2\sqrt[3]{D}}{3}\\ x_4=& \frac{\beta +\sqrt[3]{C}+\sqrt[3]{D}}{3}\\ x_6=& \frac{\beta +{\omega }^2\sqrt[3]{C}+\omega \sqrt[3]{D}}{3}\\ \end{array}$

さらに以下のy11,y12の値をx1～x6を使って求める。

$\begin{array}{cc}{(2\cos \frac{2\pi }{37}+\omega \cdot 2\cos \frac{20\pi }{37}+{\omega }^2\cdot 2\cos \frac{22\pi }{37})}^3=& y_{11}=3x_1+x_3+6(x_2+2)+3\omega (2x_1+x_4+x_5)+3{\omega }^2(2x_1+x_5+x_6)\\ {(2\cos \frac{2\pi }{37}+{\omega }^2\cdot 2\cos \frac{20\pi }{37}+\omega \cdot 2\cos \frac{22\pi }{37})}^3=& y_{12}=3x_1+x_3+6(x_2+2)+3{\omega }^2(2x_1+x_4+x_5)+3\omega (2x_1+x_5+x_6)\\ \end{array}$

両辺の立方根を取ると

$\begin{array}{cc}2\cos \frac{2\pi }{37}+\omega \cdot 2\cos \frac{20\pi }{37}+{\omega }^2\cdot 2\cos \frac{22\pi }{37}=& \sqrt[3]{y_{11}}\\ 2\cos \frac{2\pi }{37}+{\omega }^2\cdot 2\cos \frac{20\pi }{37}+\omega \cdot 2\cos \frac{22\pi }{37}=& \sqrt[3]{y_{12}}\\ \end{array}$

以上より

$\begin{array}{c}\cos \frac{2\pi }{37}=\frac{x_1+\sqrt[3]{y_{11}}+\sqrt[3]{y_{12}}}{6}\end{array}$

正三十七角形の作図

正三十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十七角形は折紙により作図可能である。

外部リンク

• z^37=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室