二十九角形

正二十九角形

二十九角形（にじゅうきゅうかくけい、にじゅうきゅうかっけい、icosienneagon）は、多角形の一つで、29本の辺と29個の頂点を持つ図形である。内角の和は4860°、対角線の本数は377本である。

正二十九角形

正二十九角形においては、中心角と外角は12.413…°で、内角は167.586…°となる。一辺の長さが a の正二十九角形の面積 S は

$S=\frac{29}{4}{a}^2\cot \frac{\pi }{29}\simeq 66.66265a^2$

$\cos (2\pi /29)$の値は、七次方程式、二次方程式を解くことにより冪根で表現される。 $z^7=1$の複素数解を $\sigma ,{\sigma }^2,{\sigma }^3,{\sigma }^4,{\sigma }^5,{\sigma }^6$ として

$\cos \frac{2\pi }{29}=\frac{{\lambda }_1+\sqrt{{\lambda }_1^2-4{\lambda }_5}}{4}$

ここで ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4,{\lambda }_5,{\lambda }_6,{\lambda }_7$ は

$\begin{array}{cc}& {\lambda }_1=\frac{-1+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5+u_6}{7}\\ & {\lambda }_2=\frac{-1+u_1{\sigma }^6+u_2{\sigma }^5+u_3{\sigma }^4+u_4{\sigma }^3+u_5{\sigma }^2+u_6\sigma }{7}\\ & {\lambda }_3=\frac{-1+u_1{\sigma }^5+u_2{\sigma }^3+u_3\sigma +u_4{\sigma }^6+u_5{\sigma }^4+u_6{\sigma }^2}{7}\\ & {\lambda }_4=\frac{-1+u_1{\sigma }^4+u_2\sigma +u_3{\sigma }^5+u_4{\sigma }^2+u_5{\sigma }^6+u_6{\sigma }^3}{7}\\ & {\lambda }_5=\frac{-1+u_1{\sigma }^3+u_2{\sigma }^6+u_3{\sigma }^2+u_4{\sigma }^5+u_5\sigma +u_6{\sigma }^4}{7}\\ & {\lambda }_6=\frac{-1+u_1{\sigma }^2+u_2{\sigma }^4+u_3{\sigma }^6+u_4\sigma +u_5{\sigma }^3+u_6{\sigma }^5}{7}\\ & {\lambda }_7=\frac{-1+u_1\sigma +u_2{\sigma }^2+u_3{\sigma }^3+u_4{\sigma }^4+u_5{\sigma }^5+u_6{\sigma }^6}{7}\\ \end{array}$

ここで $u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6$ は

$\begin{array}{cc}& u_1=\sqrt[7]{29(3578{\sigma }^6+666{\sigma }^5+2717{\sigma }^4+3764{\sigma }^3-34{\sigma }^2+288\sigma )}\\ & u_2=\sqrt[7]{29(3578{\sigma }^5+666{\sigma }^3+2717\sigma +3764{\sigma }^6-34{\sigma }^4+288{\sigma }^2)}\\ & u_3=\sqrt[7]{29(3578{\sigma }^4+666\sigma +2717{\sigma }^5+3764{\sigma }^2-34{\sigma }^6+288{\sigma }^3)}\\ & u_4=\sqrt[7]{29(3578{\sigma }^3+666{\sigma }^6+2717{\sigma }^2+3764{\sigma }^5-34\sigma +288{\sigma }^4)}\\ & u_5=\sqrt[7]{29(3578{\sigma }^2+666{\sigma }^4+2717{\sigma }^6+3764\sigma -34{\sigma }^3+288{\sigma }^5)}\\ & u_6=\sqrt[7]{29(3578\sigma +666{\sigma }^2+2717{\sigma }^3+3764{\sigma }^4-34{\sigma }^5+288{\sigma }^6)}\\ \end{array}$

正二十九角形の作図

正二十九角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正二十九角形は折紙により作図が不可能な図形である。

関連項目

• 七角形

外部リンク

• z^29=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室