体球調和関数

物理学と数学において、体球調和関数（たいきゅうちょうわかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な（regular）体球調和関数 $R_{\ell }^m(𝒓)$ と、原点が特異点となる非正則な（irregular）体球調和関数 $I_{\ell }^m(𝒓)$ の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。

$R_{\ell }^m(𝒓)\equiv \sqrt{\frac{4\pi }{2\ell +1}}{r}^{\ell }{Y}_{\ell }^m(\theta ,\phi )$

$I_{\ell }^m(𝒓)\equiv \sqrt{\frac{4\pi }{2\ell +1}}\frac{Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )}{r^{\ell +1}}$

導出および球面調和関数との関係

空間ベクトル r の球面極座標として r, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝒓)=(\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}r-\frac{{\hat{l}}^2}{r^2})\mathrm{\Phi }(𝒓)=0,𝒓\ne 0,$

ここで l² は無次元化した角運動量演算子

$\widehat{𝒍}=-i(𝒓\times \mathrm{\nabla })$

の2乗である。

知られているように、球面調和関数 Y_l^m は演算子 l² の固有関数である。

${\hat{l}}^2{Y}_{\ell }^m\equiv [{\hat{l}}_x^2+{\hat{l}}_y^2+{\hat{l}}_z^2]Y_{\ell }^m=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^m.$

Φ(r) = F(r) Y_l^m をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。

$\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}rF(r)=\frac{\ell (\ell +1)}{r^2}F(r)⟹F(r)=A{r}^{\ell }+B{r}^{-\ell -1}.$

ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数

$R_{\ell }^m(𝒓)\equiv \sqrt{\frac{4\pi }{2\ell +1}}{r}^{\ell }{Y}_{\ell }^m(\theta ,\phi ),$

であり、また一部が非正則な体球調和関数

$I_{\ell }^m(𝒓)\equiv \sqrt{\frac{4\pi }{2\ell +1}}\frac{Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )}{r^{\ell +1}}.$

である。

ラカーの正規化

テンプレート:仮リンクの正規化（Racah's normalization、またはシュミットの準正規化（Schmidt's semi-normalization））はいずれの関数にも適用でき、単位（"1"）への正規化の代わりに

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi R_{\ell }^m(𝒓{)}^{*}{R}_{\ell }^m(𝒓)=\frac{4\pi }{2\ell +1}{r}^{2\ell }$

とするものである（非正則な体球調和関数についても同様）。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。

加法定理

正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。

$R_{\ell }^m(𝒓+𝒂)=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell }{2\lambda })}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }{R}_{\lambda }^{\mu }(𝒓)R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(𝒂)⟨\lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m⟩,$

ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。

$⟨\lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m⟩={(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell +m}{\lambda +\mu })}^{1/2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell -m}{\lambda -\mu })}^{1/2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell }{2\lambda })}^{-1/2}.$

類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。

$I_{\ell }^m(𝒓+𝒂)=\sum _{\lambda =0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell +2\lambda +1}{2\lambda })}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }{R}_{\lambda }^{\mu }(𝒓)I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(𝒂)⟨\lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m⟩$

ここで $|r|\le |a|$ とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。

$⟨\lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m⟩=(-1{)}^{\lambda +\mu }{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu })}^{1/2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu })}^{1/2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell +2\lambda +1}{2\lambda })}^{-1/2}.$

参考文献

加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。

• R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
• M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)

実関数形式

テンプレート:Unreferenced section ±m についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、x, y, z についての l 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば（球面座標で書かれた）原子軌道や実数値のテンプレート:仮リンクに現れ、重要である。以下でその導出を行う。

線形結合

先述と同じ定義で、

$R_{\ell }^m(r,\theta ,\phi )=(-1{)}^{(m+|m|)/2}{r}^{\ell }{\mathrm{\Theta }}_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\phi },-\ell \le m\le \ell ,$

ただし

${\mathrm{\Theta }}_{\ell }^m(\cos \theta )\equiv {\left[\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}\right]}^{1/2}{\sin }^m\theta \frac{d^m{P}_{\ell }(\cos \theta )}{d{\cos }^m\theta },m\ge 0,$

ここで $P_{\ell }(\cos \theta )$ は l 次のルジャンドル多項式である。

この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相（Condon–Shortley phase）として知られている。

実の正則体球調和関数は次のように定義される。

$\left(\begin{array}{c}{C}_{\ell }^m\\ S_{\ell }^m\end{array}\right)\equiv \sqrt{2}{r}^{\ell }{\mathrm{\Theta }}_{\ell }^m\left(\begin{array}{c}\cos m\phi \\ \sin m\phi \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}(-1{)}^m& 1\\ -(-1{)}^{m}i& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{R}_{\ell }^m\\ R_{\ell }^{-m}\end{array}\right),m>0.$

また m = 0 に対しては

$C_{\ell }^0\equiv R_{\ell }^0.$

線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。

z-依存因子

u = cosθ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。

$\frac{d^m{P}_{\ell }(u)}{d{u}^m}=\sum _{k=0}^{\lfloor (\ell -m)/2\rfloor }{\gamma }_{\ell k}^{(m)}{u}^{\ell -2k-m}$

ここで

${\gamma }_{\ell k}^{(m)}=(-1{)}^k{2}^{-\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell }{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\ell -2k}{\ell })\frac{(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}.$

z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。

${\mathrm{\Pi }}_{\ell }^m(z)\equiv r^{\ell -m}\frac{d^m{P}_{\ell }(u)}{d{u}^m}=\sum _{k=0}^{\lfloor (\ell -m)/2\rfloor }{\gamma }_{\ell k}^{(m)}{r}^{2k}{z}^{\ell -2k-m}.$

(x,y)-依存因子

次に、x = r sinθcosφ と y = r sinθsinφ に注意すると

$r^m{\sin }^m\theta \cos m\phi =\frac{1}{2}[(r\sin \theta e^{i\phi }{)}^m+(r\sin \theta e^{-i\phi }{)}^m]=\frac{1}{2}[(x+iy{)}^m+(x-iy{)}^m]$

同様に

$r^m{\sin }^m\theta \sin m\phi =\frac{1}{2i}[(r\sin \theta e^{i\phi }{)}^m-(r\sin \theta e^{-i\phi }{)}^m]=\frac{1}{2i}[(x+iy{)}^m-(x-iy{)}^m].$

これらより、次のように定義する。

$A_m(x,y)\equiv \frac{1}{2}[(x+iy{)}^m+(x-iy{)}^m]=\sum _{p=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{p})x^p{y}^{m-p}\cos (m-p)\frac{\pi }{2}$

$B_m(x,y)\equiv \frac{1}{2i}[(x+iy{)}^m-(x-iy{)}^m]=\sum _{p=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{p})x^p{y}^{m-p}\sin (m-p)\frac{\pi }{2}.$

まとめ

$C_{\ell }^m(x,y,z)={\left[\frac{(2-{\delta }_{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}\right]}^{1/2}{\mathrm{\Pi }}_{\ell }^m(z)A_m(x,y),m=0,1,\dots ,\ell$

$S_{\ell }^m(x,y,z)={\left[\frac{2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}\right]}^{1/2}{\mathrm{\Pi }}_{\ell }^m(z)B_m(x,y),m=1,2,\dots ,\ell .$

低次の関数のリスト

l = 5 以下の関数の明示式を記す。ここで

${\overline{\mathrm{\Pi }}}_{\ell }^m(z)\equiv {\left[\frac{(2-{\delta }_{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}\right]}^{1/2}{\mathrm{\Pi }}_{\ell }^m(z).$

---

$\begin{array}{cccccc}{\overline{\mathrm{\Pi }}}_0^0& =1& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_3^1& =\frac{1}{4}\sqrt{6}(5z^2-r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^4& =\frac{1}{8}\sqrt{35}\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_1^0& =z& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_3^2& =\frac{1}{2}\sqrt{15}z& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^0& =\frac{1}{8}z(63z^4-70z^2{r}^2+15r^4)\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_1^1& =1& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_3^3& =\frac{1}{4}\sqrt{10}& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^1& =\frac{1}{8}\sqrt{15}(21z^4-14z^2{r}^2+r^4)\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_2^0& =\frac{1}{2}(3z^2-r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^0& =\frac{1}{8}(35z^4-30r^2{z}^2+3r^4)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^2& =\frac{1}{4}\sqrt{105}(3z^2-r^2)z\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_2^1& =\sqrt{3}z& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^1& =\frac{\sqrt{10}}{4}z(7z^2-3r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^3& =\frac{1}{16}\sqrt{70}(9z^2-r^2)\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_2^2& =\frac{1}{2}\sqrt{3}& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^2& =\frac{1}{4}\sqrt{5}(7z^2-r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^4& =\frac{3}{8}\sqrt{35}z\\ {\overline{\mathrm{\Pi }}}_3^0& =\frac{1}{2}z(5z^2-3r^2)& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_4^3& =\frac{1}{4}\sqrt{70}z& {\overline{\mathrm{\Pi }}}_5^5& =\frac{3}{16}\sqrt{14}\\ \end{array}$

---

低次の $A_m(x,y)$ と $B_m(x,y)$ は次の通りである。

m	Am	Bm
0	$1$	$0$
1	$x$	$y$
2	$x^2-y^2$	$2xy$
3	$x^3-3x{y}^2$	$3x^{2}y-y^3$
4	$x^4-6x^2{y}^2+y^4$	$4x^{3}y-4x{y}^3$
5	$x^5-10x^3{y}^2+5x{y}^4$	$5x^{4}y-10x^2{y}^3+y^5$

参考文献

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