命題変項

数理論理学において、命題変項（めいだいへんこう、テンプレート:Lang-en-short、命題変数、文変数とも）は、真理関数の入力変数（真または偽のいずれかをとる）である。命題変項は、命題論理および高階論理で用いられる命題論理式の基本的な構成要素である。

用法

論理における論理式は通常、いくつかの命題変項、いくつかの論理結合子、および論理量化子から再帰的に構成される。命題変項は命題論理の原子論理式であり、しばしば $P$、$Q$、$R$ などの大文字ローマ字で表される。

例

ある命題論理において、論理式は次のように定義できる。

• すべての命題変項は論理式である。
• 論理式 X が与えられたとき、否定 ¬X は論理式である。
• 二つの論理式 X と Y、および二項結合子 b（論理積 ∧ など）が与えられたとき、式 (X b Y) は論理式である。（括弧に注意。）

この構成を通じて、命題論理のすべての論理式が基本単位として命題変項から構築される。命題変項は、命題計算の典型的な公理に現れるメタ変数と混同してはならない。後者は実効的には論理式全体を範囲とし、しばしば $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ などの小文字ギリシャ文字で表される。

述語論理との関係

Px や xRy といった述語文字に対象変数 x や y が付かず、代わりに個体定数 a、b、... が付いた命題変項（例: Pa、aRb）は命題定数と呼ばれる。これらの命題定数は命題演算子を含まない原子命題である。

命題変項の内部構造には、P や Q などの述語記号と、束縛個体変数（例: x、y）、議論領域 D の個体定数 a や b（単称名辞）との組み合わせが含まれ、最終的に Pa、aRb（あるいは括弧を用いて $P(11)$ や $R(1,3)$）のような形をとる。

命題論理は、原子文の内部構造を分析する一階述語論理とは対照的に、その内部構造を考慮しないため、零階論理と呼ばれることがある。

関連項目

• ブール代数 (論理)
• ブールデータ型
• ブール領域
• ブール関数
• 論理値
• 述語変項

参考文献

• Smullyan, Raymond M. First-Order Logic. 1968. Dover edition, 1995. Chapter 1.1: Formulas of Propositional Logic.