述語変項

数理論理学において、述語変項（じゅつごへんこう、テンプレート:Lang-en-short）は、項間の関係の「プレースホルダー」として機能するが、特定の関係（または意味）にまだ割り当てられていない述語記号である。述語変項を表す一般的な記号には、$P$、$Q$、$R$ などの大文字ローマ字や、$x$ などの小文字ローマ字が含まれる。 一階述語論理では、これらはより適切にメタ言語変数と呼ばれることがある。高階論理では、述語変項は同じ論理の論理式を表すことができる命題変項に対応し、そのような変数は（少なくとも）二階の量化子によって量化できる。

記法

述語変項は述語定数と区別しなければならない。述語定数は、異なる（排他的な）述語記号セットで表すことも、議論領域で独自の特定の意味を持つ固有の記号（例: $=,\in ,\le ,<,\subset ,\dots$）で表すこともできる。

述語定数と述語変項の両方に文字を使用する場合、それらを区別する方法が必要となる。一つの可能性は、W、X、Y、Z を述語変項に使用し、A、B、C、...、U、V を述語定数に使用することである。これらの文字が不足する場合は、当該文字の後に数値添え字を付加する（例: X₁、X₂、X₃）。

もう一つの選択肢として、ギリシャ語の小文字を使用してメタ変数述語を表す方法がある。こうした文字は述語計算の論理式全体を表すために使用できる。論理式の自由変数項はギリシャ文字述語の項として組み込むことができる。これが高階論理を作成するための第一歩である。

用法

述語変項が述語計算の語彙に属するものとして定義されていない場合、それらは述語メタ変数であり、残りの述語は単に「述語記号」と呼ばれる。メタ変数は公理図式および定理図式（公理図式から派生したもの）をコード化するために使用されると理解される。

「述語記号」が定数か変数かという点は微妙である。$=,\in ,\le ,<,\subset$ が述語定数であること、または $1,2,3,\sqrt{2},\pi ,e$ が数値定数であることと同じ意味での定数ではない。

「述語変項」が引数を持たない零アリティの述語記号にのみ束縛されることが許可される場合（当該記号は命題を表す）、そのような変数は命題変項であり、二階量化子を使用してそのような命題変項を束縛することを許可する述語論理は二階述語計算、または二階論理となる。

述語変項が単項またはより高いアリティを持つ述語記号にも束縛されることが許可され、それらが命題関数を表す場合（引数の定義域が異なる命題の値域に写像されるもの）、かつそのような変数が量化子によってそのような命題の集合に束縛できる場合、結果は高階述語計算、または高階論理となる。

関連項目

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• メタ変数
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参考文献

• ルドルフ・カルナップ and William H. Meyer. Introduction to Symbolic Logic and Its Applications. Dover Publications (June 1, 1958). テンプレート:ISBN