境界付き多様体

左側は境界をもたない位相多様体であり，右側は赤で示した境界を持つ位相多様体である．

境界付き多様体（きょうかいつきたようたい，テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Efnは微分幾何学における多様体の一般化である．多様体に対して定義される構造の多くは，その定義を境界付き多様体に拡張できる．

定義

有限長の円柱は境界付き多様体である．

境界付き多様体

上半空間を

${ℍ}^n:=\{(x^1,\dots ,x^n)\in {ℝ}^n\mid x^n\ge 0\}$

と書く．これには テンプレート:Math の部分空間位相を与え，特に テンプレート:Math 全体は開かつ閉集合である．

テンプレート:Mvar 次元境界付き位相多様体とは，第二可算公理を満たすハウスドルフ空間であって，任意の点が上半空間の開部分集合 テンプレート:Math に同相な開近傍を持つものをいう．

（一般化）チャート

開集合 テンプレート:Math と テンプレート:Mvar から テンプレート:Math の開集合 テンプレート:Mvar への同相写像 テンプレート:Math の組 テンプレート:Math は一般化チャート（座標近傍）と呼ばれる．

境界

テンプレート:Math の テンプレート:Math における境界 テンプレート:Math は テンプレート:Math を満たす点の全体である．境界付き多様体 テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Math は，テンプレート:Math かつ テンプレート:Math であるようなチャート テンプレート:Math が存在するときテンプレート:Efn テンプレート:Mvar の境界点と呼ばれる．すべての境界点からなる集合は テンプレート:Math と書かれる．

テンプレート:Math の連結成分は"境界成分"と呼ばれる．

テンプレート:Math が空のとき，テンプレート:Mvar は通常の（境界のない）多様体である．

構造

可微分構造

境界のない多様体と同様，境界のある多様体にもテンプレート:仮リンクを定義することができる．境界付き可微分多様体は，任意の2つのチャート テンプレート:Math, テンプレート:Math について，写像

$\varphi \circ {\psi }^{-1}{|}_{\psi (U\cap V)}:\psi (U\cap V)\to \varphi (U\cap V)$

が微分同相であるような境界付き多様体として定義される．$\varphi \circ {\psi }^{-1}$ の定義域 $\psi (U\cap V)$ が テンプレート:Math の境界点を含んでいるならば，$\varphi \circ {\psi }^{-1}$ の微分可能性を調べるためには, テンプレート:Math を含むが テンプレート:Math の部分集合ではないような テンプレート:Math の開集合をとらなければならない. もちろん，すべての境界付き多様体に微分構造を定義できるわけではない．境界付き多様体は通常の多様体同様いくつかの異なる微分構造をもちうる．

向き付け

境界付き（可微分）多様体 テンプレート:Mvar において，境界 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の部分多様体である．テンプレート:Mvar が向き付け可能であると仮定すると，境界 テンプレート:Math も向き付け可能であるテンプレート:Efn．

ストークスの定理

テンプレート:Main 境界付き多様体の助けを借りて，ストークスの積分定理を簡潔かつエレガントに定式化できる．テンプレート:Mvar を向き付けられた テンプレート:Mvar 次元境界付き可微分多様体とし，テンプレート:Mvar をコンパクト台を持つ テンプレート:Math 次の微分形式とすると，

$\underset{M}{\int }\mathrm{d}\omega =\underset{\partial M}{\int }\omega$

となる．テンプレート:Mvar が境界を持たなければ，右辺の積分は テンプレート:Math であり，テンプレート:Mvar が 1 次元多様体ならば，右辺の積分は有限和である．

頂点付き多様体

定義

立方体は頂点付き多様体である．

$\overline{{ℝ}_{+}^n}$ を テンプレート:Math の点であってすべての座標が非負のもの全体とする：

$\overline{{ℝ}_{+}^n}=\{(x^1,\dots ,x^n)\in {ℝ}^n:x^1\ge 0,\dots ,x^n\ge 0\}.$

この部分集合は テンプレート:Math と同相であるが微分同相ではない．テンプレート:Mvar を境界を持つ（位相）多様体とする．頂点を持つ多様体テンプレート:Efnとは，局所的に $\overline{{ℝ}_{+}^n}$ の開部分集合と微分同相な多様体である．このとき テンプレート:Mvar のチャートは "頂点付きチャート" と呼ばれる．頂点付きチャートは対 テンプレート:Math であって テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の開部分集合で $\varphi :U\to \tilde{U}\subset \overline{{ℝ}_{+}^n}$ が同相なものである．2つの頂点付きチャート テンプレート:Math と テンプレート:Math が整合的とは，$\varphi \circ {\psi }^{-1}:\psi (U\cap V)\to \varphi (U\cap V)$ が滑らかであることをいう．

境界付き位相多様体の頂点付き滑らかな構造とは テンプレート:Mvar を被覆する頂点付き整合的チャートからなる極大集合である．頂点付き滑らかな構造をもった境界付き位相多様体は頂点付き多様体と呼ばれる．

注意

$\overline{{ℝ}_{+}^n}$ は テンプレート:Math と同相だから，境界付き多様体と頂点付き多様体は位相的には識別できない．このため，可微分構造を持たない頂点付き（位相）多様体を定義するのは無意味である．頂点付き多様体の例は長方形である．

参考文献

• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:SpringerEOM