対当の四角形

対当の四角形。小文字（a, e, i, o）を用いているのは、周囲の大文字 S（主語項）や P（述語項）と視覚的に区別するためである。ベン図では、黒い領域は空で、赤い領域は空でない。白い領域は空である場合もそうでない場合もある。薄い色の矢印と薄い赤の領域は、伝統的論理学において テンプレート:Mvar で表されるもの（あるいは現代論理学において命題 テンプレート:Mvar を満たすもの）が存在すると仮定した場合に成立する。現代論理学ではそう仮定しないため、薄い色のものは成り立たない（現代論理学においては薄い赤の領域には要素が存在しえない）。

15世紀の描写

対当の四角形（たいとうのしかくけい、テンプレート:Lang-en-short）とは、名辞論理学（哲学的論理学の一分野）において、4種類の基本的な定言命題の間の関係を表す図式である。この四角形の起源はアリストテレスの論考『命題について』と、そこで区別される二つの対立、すなわち矛盾と反対にさかのぼることができる。ただし、アリストテレス自身は図を描いておらず、これは数世紀後に行われたものである。

概要

テンプレート:仮リンクにおいて、命題（テンプレート:Lang）とは、話される主張（テンプレート:Lang）を指し、言語の近代哲学や論理学におけるような主張の意味ではない。定言命題とは、主語（テンプレート:Mvar）と述語（テンプレート:Mvar）の 2 つの項を含む単純な命題であり、述語が主語について肯定または否定されるものをいう。

すべての定言命題は、以下の 4 つの論理形式のいずれかに還元することができる。これらは、肯定命題 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar についてはラテン語の テンプレート:Lang（私は肯定する）から、否定命題 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar についてはラテン語の テンプレート:Lang（私は否定する）から名づけられている。すなわち以下の通り。

• テンプレート:Mvar 命題、全称肯定（テンプレート:Lang）。ラテン語形は 'omne テンプレート:Mvar est テンプレート:Mvar' で、通常「すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」と訳される。
• テンプレート:Mvar 命題、全称否定（テンプレート:Lang）。ラテン語形は 'nullum テンプレート:Mvar est テンプレート:Mvar' で、通常「すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」あるいは「いかなる テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar でない」と訳される。
• テンプレート:Mvar 命題、特称肯定（テンプレート:Lang）。ラテン語形は 'quoddam テンプレート:Mvar est テンプレート:Mvar' で、通常「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」と訳される。
• テンプレート:Mvar 命題、特称否定（テンプレート:Lang）。ラテン語形は 'quoddam テンプレート:Mvar nōn est テンプレート:Mvar' で、通常「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」と訳される。

表形式で示すと以下のようになる。

アリストテレスの 4 つの命題

名称	記号	ラテン語	日本語*	記憶語	現代形
全称肯定	テンプレート:Mvar	Omne テンプレート:Mvar est テンプレート:Mvar.	すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である。 （テンプレート:Mvar は常に テンプレート:Mvar）	テンプレート:Lang （私は肯定する）	$\mathrm{\forall }x(Sx\to Px)$
全称否定	テンプレート:Mvar	Nullum テンプレート:Mvar est テンプレート:Mvar.	いかなる テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar でない。 （テンプレート:Mvar は決して テンプレート:Mvar でない）	テンプレート:Lang （私は否定する）	$\mathrm{\forall }x(Sx\to \mathrm{\neg }Px)$
特称肯定	テンプレート:Mvar	Quoddam テンプレート:Mvar est テンプレート:Mvar.	ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である。 （テンプレート:Mvar は時に テンプレート:Mvar）	テンプレート:Lang （私は肯定する）	$\mathrm{\exists }x(Sx\wedge Px)$
特称否定	テンプレート:Mvar	Quoddam テンプレート:Mvar nōn est テンプレート:Mvar.	ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない。 （テンプレート:Mvar は常に テンプレート:Mvar とは限らない）	テンプレート:Lang （私は否定する）	$\mathrm{\exists }x(Sx\wedge \mathrm{\neg }Px)$

*命題 テンプレート:Mvar は「すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」と述べることもある。しかし、命題 テンプレート:Mvar を対応する形で「すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」と述べた場合は曖昧である。というのは、それは テンプレート:Mvar 命題としても テンプレート:Mvar 命題としても解釈できるので、形式を決定するのに文脈が必要となるからである。標準形の「いかなる テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar でない」は曖昧でなく、そのため好まれる。命題 テンプレート:Mvar はまた「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」および「特定のある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」（ラテン語 'Quoddam テンプレート:Mvar nōn est テンプレート:Mvar'）という形も取る。

** 現代形における $Sx$ は、命題 $S$ が対象 $x$ に適用されることを意味する。多くの場合、単に「$x$ は $S$ である」と解釈できる。$Sx$ は $S(x)$ と書くこともできる。

アリストテレスは（『命題論』（Περὶ Ἑρμηνείας、ラテン語 De Interpretatione、英語 'On Interpretation'）の第 6 章および第 7 章で）、これら 4 種類の命題の間には特定の論理的関係が存在すると述べている。彼は、あらゆる肯定にはちょうど一つの否定が対応すること、そしてあらゆる肯定とその否定は「対立」しており、常に一方が真、他方が偽でなければならないと述べている。肯定命題とその否定の組を、彼は「矛盾」（中世ラテン語で テンプレート:Lang）と呼ぶ。矛盾の例としては、「すべての人は白い」と「すべての人が白いわけではない」（また「ある人は白くない」とも読まれる）、および「いかなる人も白くない」と「ある人は白い」がある。

以下の関係——反対、小反対、下位延長、上位延長——は、伝統的論理学の仮定、すなわち テンプレート:Mvar で述べられるもの（あるいは現代論理学において命題 テンプレート:Mvar を満たすもの）が存在するという仮定に基づいて成り立つ。この仮定を取り去れば、これらの関係は成り立たない。

「反対」（中世ラテン語 テンプレート:Lang）命題とは、両者が同時に真となることはできないような命題である。その例には、全称肯定「すべての人は白い」と全称否定「いかなる人も白くない」がある。これらは同時に真にはなりえない。しかし、これらは両者ともに偽でありうるため、矛盾ではない。たとえば、「すべての人は白い」は偽である。というのは、ある人々は白くないからである。しかし、「いかなる人も白くない」もまた偽である。というのは、白い人々もいるからである。

あらゆる命題は矛盾する対立命題（その否定）を持ち、矛盾する命題はその対立命題が偽のときに真であるため、反対（中世論理学者たちが「小反対」（テンプレート:Lang）と呼んだもの）の対立命題は両者ともに真でありうるが、両者ともに偽ではありえないということが従う。小反対は全称命題の否定であるため、中世の論理学者たちはそれらを「特称」命題と呼んだ。

これによって含意される、しかしアリストテレスが明示的には言及していないもう一つの論理的関係は「変位」（テンプレート:Lang）であり、「下位延長」と「上位延長」からなる。下位延長は、同じ質（肯定または否定）の特称命題と全称命題との間の関係であって、特称が全称によって含意される関係である。上位延長はそれらの間の関係であって、全称の偽（同値的にはその否定）が特称の偽（同値的にはその否定）によって含意される関係である（上位延長は下位延長の対偶である）。これらの関係において、特称は全称の下位項であり、全称は特称の上位項である。たとえば、「すべての人は白い」が真であれば、その反対「いかなる人も白くない」は偽である。したがって、矛盾する命題「ある人は白い」は真である。同様に、全称「いかなる人も白くない」は特称「すべての人が白いわけではない」を含意する。

まとめると次のようになる。

• 全称命題は反対である。「すべての人は正しい」と「いかなる人も正しくない」は同時に真ではありえないが、一方が真で他方が偽であることも、両方が偽であることもありうる（少なくとも一人の人が正しく、少なくとも一人の人が正しくない場合）。
• 特称命題は小反対である。「ある人は正しい」と「ある人は正しくない」は同時に偽ではありえない。
• ある質の特称命題は、同じ質の全称命題の下位項であり、全称命題は特称命題の上位項である。なぜなら、アリストテレス的意味論では「すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」が「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」を含意し、「いかなる テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar でない」が「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」を含意するからである。英文の現代的な形式的解釈は、「すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」を「任意の テンプレート:Mvar について、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar であるという命題は テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar であるという命題を含意する」と解釈することに注意されたい。これは「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」を含意しない。ただしこれは意味論的解釈の問題であり、時に主張されるように、アリストテレス的論理学が「誤り」だという意味ではない。
• 全称肯定（テンプレート:Mvar）と特称否定（テンプレート:Mvar）は矛盾する。ある テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar でないなら、すべての テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar であるわけではない。逆に、これは現代意味論では成り立たないが、すべての テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar でなければ、ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でないと考えられていた。この解釈が困難をもたらした（下記参照）。アリストテレスのギリシア語では特称否定を「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」ではなく「すべての テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar であるわけではない」と表現しているが、彼の『命題論』注釈のある者は、特称否定を 'quoddam A nōn est テンプレート:Mvar'、文字通り「特定のある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar ではない」と訳し、論理学に関するすべての中世の著作では特称命題をこのように表現するのが慣例となっている。

これらの関係は、ボエティウスによって描かれ、中世の論理学者たちが論理関係を分類するために用いた図の基礎となった。命題が正方形の 4 つの角に配置され、関係はそれらの間に引かれた線として表される。ここから「対当の四角形」という名称が生じた。したがって、以下の場合が構成できる。

1. テンプレート:Mvar が真であれば、テンプレート:Mvar は偽、テンプレート:Mvar は真、テンプレート:Mvar は偽。
2. テンプレート:Mvar が真であれば、テンプレート:Mvar は偽、テンプレート:Mvar は偽、テンプレート:Mvar は真。
3. テンプレート:Mvar が真であれば、テンプレート:Mvar は偽、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は不定。
4. テンプレート:Mvar が真であれば、テンプレート:Mvar は偽、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は不定。
5. テンプレート:Mvar が偽であれば、テンプレート:Mvar は真、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は不定。
6. テンプレート:Mvar が偽であれば、テンプレート:Mvar は真、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は不定。
7. テンプレート:Mvar が偽であれば、テンプレート:Mvar は偽、テンプレート:Mvar は真、テンプレート:Mvar は真。
8. テンプレート:Mvar が偽であれば、テンプレート:Mvar は真、テンプレート:Mvar は偽、テンプレート:Mvar は真。

これらを暗記するために、中世の学者たちは次のようなラテン語の韻文を考案した。

テンプレート:Lang
テンプレート:Lang

これは、上記の各場合において、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が両方真ではなく両方偽でもないことを述べている。同じことが テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar にもあてはまる。前二者は全称命題であるが、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の組は特称命題を指している。

対当の四角形は、中世の論理学者たちによって記述された定言的推論、すなわちテンプレート:仮リンク、テンプレート:仮リンク、テンプレート:仮リンクに用いられた。これら 3 種類の定言的推論はそれぞれ、4 つの論理形式 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に適用された。

存在含意の問題

テンプレート:Main 小反対（テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar）は、中世論理学者が 'quoddam テンプレート:Mvar est テンプレート:Mvar'（ある特定の テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である）および 'quoddam テンプレート:Mvar non est テンプレート:Mvar'（ある特定の テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない）の形で表したが、両者ともに偽にはなりえない。というのは、それらの全称矛盾命題（いかなる テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar でない／すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である）は両者ともに真ではありえないからである。これはペテル・アベラール（1079年2月12日 – 1142年4月21日）によって最初に特定された困難をもたらす。「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」は、「ある物は テンプレート:Mvar である」ということ、換言すれば テンプレート:Mvar である何かが存在するということを含意するようにみえる。たとえば「ある人は白い」は、少なくとも 1 つの存在する物が人であること、すなわち、もし「ある人は白い」が真であるならば白くなければならない人が存在することを含意するようにみえる。しかし、「ある人は白くない」もまた、人としての何かが存在すること、すなわち、命題「ある人は白くない」が真であるならば白くない人が存在することを含意する。しかしアリストテレス的論理学は、これらの命題のうちの一つ（より一般には「ある特定の テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」と「ある特定の テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」）が必然的に真であることを要求する。すなわち、これらは両方ともに偽にはなりえない。したがって、両方の命題が少なくとも 1 つの人であるものの存在を含意するため、人あるいは人々の存在が従う。しかし、アベラールが『弁証論』で指摘するように、確かに人は存在しないかもしれないのではないか。

なぜなら、人が全く存在しない場合、「すべての人は人である」という命題も、「ある人は人でない」という命題も真ではない。

アベラールはまた、「石である人」のような何も指し示さない主語項を含む小反対が、両者ともに偽であることを指摘している。

「すべての石人は石である」が真であるならば、その per accidens の換位「ある石は石人である」も真である。しかし、いかなる石も石人ではない。なぜなら、この人もその人も石ではないからである。しかし、「ある特定の石人は石ではない」もまた必然的に偽である。というのは、それが真であると仮定することは不可能だからである。

テンプレート:仮リンク（1939年 – 2022年）は、A（全称肯定）および I（特称肯定）の形式のみが存在含意を持ち、古代の哲学者はテンプレート:仮リンクの問題を経験しなかったと論じている。（もしある命題がそれを含む項について、その項が実例を持たない場合、すなわちその項に関連するいかなるものも存在しない場合に偽となるようなものであるなら、その命題はその項に関して存在含意を持つと言われる。）

肯定命題は存在含意を持ち、否定命題は持たない。それゆえ、古代人はアリストテレスによって定式化された四角形の非一貫性を見なかった。というのは、見るべき非一貫性が存在しなかったからである。

彼はさらに、中世の哲学者オッカムのウィリアム（c. 1287 – 1347年4月9/10日）を引用している。

肯定命題においては、ある項は常に何かに代用（supposit）することが主張される。それゆえ、それが何も代用しないならば、その命題は偽である。しかし、否定命題においては、その主張は、その項が何かに代用しないか、あるいは述語が真に否定される何かに代用するかのいずれかである。したがって、否定命題は真理の二つの原因を持つ。

そして、ボエティウスによるアリストテレスの著作の注釈が、テンプレート:Mvar 形式が存在含意を持つという誤った観念を生じさせたことを指摘している。

しかし、ボエティウス（c. 480 – 524）がこのテキストを注釈する際、彼は現在有名な図でアリストテレスの教義を描き、「ある人は正しくない」という表現を用いた。したがって、これはラテン語では自然な同義語だったに違いない。私たち英語話者には奇妙に見えるが、彼は困惑しなかった。

現代の対当の四角形

フレーゲの対当の四角形
下の テンプレート:Lang は誤植であり、テンプレート:Lang と読むべきである。

19世紀にジョージ・ブール（1815年11月 – 1864年12月8日）は、特称命題（テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar）において両方の項に存在含意を要求するが、全称命題（テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar）のすべての項には存在含意を欠くことを認めるべきだと論じた。この決定によって、ベン図が項論理に対して特に使いやすくなった。このブール的仮定集合の下での対当の四角形は、しばしば「現代の対当の四角形」と呼ばれる。現代の対当の四角形では、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の主張、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の主張が矛盾するが、他のすべての対立関係は成り立たなくなる。すなわち、反対、小反対、下位延長、上位延長は存在しない。したがって、現代的観点からは、古い論理学者たちが主張したように、ある主張が主張との複数種類の対立関係にある複数の異なる対立命題を持つと主張するよりも、「唯一の」対立について語るのが理にかなうことが多い。

ゴットロープ・フレーゲ（1848年11月8日 – 1925年7月26日）の『概念記法』にも対当の四角形が示されており、古典的な四角形とほとんど同じように構成され、全称量化、否定、含意から構成される 4 つの式の間の矛盾、下位項、反対を示している。

アルジルダス・ジュリアン・グレマス（1917年3月9日 – 1992年2月27日）の記号論的四角形は、アリストテレスの業績から派生した。

伝統的な対当の四角形は、現在ではしばしば内的否定と外的否定に基づく四角形と比較される。

論理六角形と他の双単体

対当の四角形は、6 つの命題の関係を含む論理六角形へと拡張されている。それはテンプレート:仮リンク（1885年4月7日 – 1957年12月12日）とテンプレート:仮リンク（1898年 – 1975年）の両者によって独立に発見された。四角形と六角形の両者、そしてそれに続く「テンプレート:仮リンク」は、次元 テンプレート:Mvar の「論理双単体」と呼ばれる n 次元対象の規則的な系列に属することが証明されている。このパターンはこれをさらに超えていく。

対当の四角形（あるいは論理四角形）と様相論理

論理四角形は、対当の四角形あるいはアプレイウスの四角形とも呼ばれ、三段論法的推論に用いられる 4 つの記された命題に起源を持つ。すなわち「すべての人は悪である」（全称肯定）、その否定「すべての人が悪であるわけではない」（あるいは「ある人々は悪ではない」）、「ある人々は悪である」（特称肯定）、そしてその否定「いかなる人も悪ではない」である。テンプレート:仮リンクは 1966 年にヴランから『Structures intellectuelles』を出版し、それ以来、多くの学者は、4 つの値を表す論理四角形あるいは対当の四角形が、6 つの値を表すことでより強力な図となるテンプレート:仮リンクに置き換えられるべきだと考えている。というのは、それは論理と自然言語についてより多くのことを説明する力を持つからである。

定言命題の集合論的解釈

現代の数理論理学においては、「すべて」「ある」「いかなる〜もない」という語を含む命題は、集合的な議論領域を仮定するならば集合論の言葉で述べることができる。すべての テンプレート:Mvar の集合を $s(A)$、すべての テンプレート:Mvar の集合を $s(B)$ と表せば、以下のようになる。

• 「すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」（AaB）は「$s(A)$ は $s(B)$ の部分集合である」、すなわち $s(A)\subseteq s(B)$ と同値である。
• 「いかなる テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar でない」（AeB）は「$s(A)$ と $s(B)$ の共通部分は空である」、すなわち $s(A)\cap s(B)=\mathrm{\varnothing }$ と同値である。
• 「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」（AiB）は「$s(A)$ と $s(B)$ の共通部分は空でない」、すなわち $s(A)\cap s(B)\ne \mathrm{\varnothing }$ と同値である。
• 「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」（AoB）は「$s(A)$ は $s(B)$ の部分集合でない」、すなわち $s(A)⊈s(B)$ と同値である。

定義により、空集合 $\mathrm{\varnothing }$ はすべての集合の部分集合である。この事実から、この数学的慣習に従えば、テンプレート:Mvar が存在しない場合、「すべての テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」と「いかなる テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar でない」という命題は常に真であり、他方「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar である」と「ある テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でない」という命題は常に偽であることが従う。これはまた、AaB が AiB を含意しないこと、そして上記で述べた三段論法のいくつかは テンプレート:Mvar が存在しない場合（$s(A)=\mathrm{\varnothing }$）には妥当でないことを含意する。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• 記号論的四角形
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• テンプレート:Cite SEP
• International Congress on the Square of Opposition
• Special Issue of Logica Universalis Vol. 2 N. 1 (2008) on the Square of Opposition
• Catlogic: An open source computer script written in Ruby to construct, investigate, and compute categorical propositions and syllogisms
• Periermenias Aristotelis with links to video and digitised manuscript LJS 101 of Boethius' Latin translation of Aristotle's De Interpretatione, which contains 9th/11th century copies (some with color) of Aristotle's square of opposition on leaves 36r and 36v.