対数関数の原始関数の一覧

本項では、x > 0 を前提としている。また積分定数は簡便のために省略している。

対数関数のみ

\int \ln a x d x = x \ln a x - x

\int \ln (a x + b) d x = \frac{(a x + b) \ln (a x + b) - (a x + b)}{a}

\int (\ln x)^{2} d x = x (\ln x)^{2} - 2 x \ln x + 2 x

\int (\ln x)^{n} d x = x \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} \frac{n!}{k!} (\ln x)^{k}

\int \frac{d x}{\ln x} = \ln | \ln x | + \ln x + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{(\ln x)^{k}}{k \cdot k!}

\int \frac{d x}{(\ln x)^{n}} = - \frac{x}{(n - 1) (\ln x)^{n - 1}} + \frac{1}{n - 1} \int \frac{d x}{(\ln x)^{n - 1}} (for n \neq 1)

\int (\ln x)^{x} d x = (\ln x)^{x - 1} + (\ln (\ln x)) (\ln x)^{x}

\int x^{m} \ln x d x = x^{m + 1} (\frac{\ln x}{m + 1} - \frac{1}{(m + 1)^{2}}) (for m \neq - 1)

\int x^{m} (\ln x)^{n} d x = \frac{x^{m + 1} (\ln x)^{n}}{m + 1} - \frac{n}{m + 1} \int x^{m} (\ln x)^{n - 1} d x (for m \neq - 1)

\int \frac{{(\ln x)}^{n} d x}{x} = \frac{(\ln x)^{n + 1}}{n + 1} (for n \neq - 1)

\int \frac{\ln x^{n} d x}{x} = \frac{{(\ln x^{n})}^{2}}{2 n} (for n \neq 0)

\int \frac{\ln x d x}{x^{m}} = - \frac{\ln x}{(m - 1) x^{m - 1}} - \frac{1}{(m - 1)^{2} x^{m - 1}} (for m \neq 1)

\int \frac{(\ln x)^{n} d x}{x^{m}} = - \frac{(\ln x)^{n}}{(m - 1) x^{m - 1}} + \frac{n}{m - 1} \int \frac{(\ln x)^{n - 1} d x}{x^{m}} (for m \neq 1)

\int \frac{x^{m} d x}{(\ln x)^{n}} = - \frac{x^{m + 1}}{(n - 1) (\ln x)^{n - 1}} + \frac{m + 1}{n - 1} \int \frac{x^{m} d x}{(\ln x)^{n - 1}} (for n \neq 1)

\int \frac{d x}{x \ln x} = \ln | \ln x |

\int \frac{d x}{x^{n} \ln x} = \ln | \ln x | + \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{(n - 1)^{k} (\ln x)^{k}}{k \cdot k!}

\int \frac{d x}{x (\ln x)^{n}} = - \frac{1}{(n - 1) (\ln x)^{n - 1}} (for n \neq 1)

\int \ln (x^{2} + a^{2}) d x = x \ln (x^{2} + a^{2}) - 2 x + 2 a \tan^{- 1} \frac{x}{a}

\int \frac{x}{x^{2} + a^{2}} \ln (x^{2} + a^{2}) d x = \frac{1}{4} \ln^{2} (x^{2} + a^{2})

\int \sin (\ln x) d x = \frac{x}{2} (\sin (\ln x) - \cos (\ln x))

\int \cos (\ln x) d x = \frac{x}{2} (\sin (\ln x) + \cos (\ln x))

\int e^{x} (x \ln x - x - \frac{1}{x}) d x = e^{x} (x \ln x - x - \ln x)

\int \frac{1}{e^{x}} (\frac{1}{x} - \ln x) d x = \frac{\ln x}{e^{x}}

\int e^{x} (\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x \ln^{2} x}) d x = \frac{e^{x}}{\ln x}

\underset{n}{\underset{⏟}{\int \dots \int}} \ln x \underset{n}{\underset{⏟}{d x \dots d x}} = \frac{x^{n}}{n!} (\ln x - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) + \sum_{k = 0}^{n - 1} C_{k} \frac{x^{k}}{k!}

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover (1965) テンプレート:ISBN2　いくつかの積分がこの古典的書籍のpage 69 に掲載されている。