後続順序数

集合論および順序論における順序数の後者 (successor) あるいは後続順序数（こうぞくじゅんじょすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、与えられた順序数 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar より大きい最小の順序数を言う。

性質

テンプレート:Math を除く任意の順序数は後続順序数か極限順序数の何れかであるテンプレート:Sfn。

フォンノイマンのモデル

テンプレート:Seealso 集合論における標準的なモデルとしてフォンノイマンの順序数モデルは、順序数 テンプレート:Mvar の後者 テンプレート:Math を等式 $$S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$$ によって与えるテンプレート:Sfn。

順序数の順序付けにおいて テンプレート:Math となるための必要十分条件は、テンプレート:Math となることであったから、ここから直ちに二つの順序数 テンプレート:Math の間にはほかの順序数はなく、かつ明らかに テンプレート:Math が成り立つ。すなわち、この テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の後者としての条件を満足していることが確かめられる。

順序数の和

テンプレート:Main 後者演算は（厳密には超限帰納法を通じて）順序数の和を定義するのに用いられる: $$\alpha +0:=\alpha ,\alpha +S(\beta ):=S(\alpha +\beta )$$ および、極限順序数 テンプレート:Mvar に対しては $$\alpha +\lambda :=\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta ).$$

特に、テンプレート:Math が成り立つ。乗法や冪も同様に定義される。

位相

後続順序数および テンプレート:Math はテンプレート:Ill2に関して順序数全体の成す類の孤立点であるテンプレート:Sfn

関連項目

• テンプレート:Ill2

参考文献

• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation.

外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:ProofWiki
• テンプレート:ProofWiki
• テンプレート:SpringerEOM