整列集合

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整列集合（せいれつしゅうごう、テンプレート:Lang-en-short）、または整列順序付けられた集合（せいれつじゅんじょづけられたしゅうごう）とは、数学における概念の一つであり、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係（テンプレート:Lang）とは、S 上の全順序関係 ≤ であって、S の任意の非空部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S,≤) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。

導入

整列集合 テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar は、それが テンプレート:Mvar の最大元でない限り、ただ一つの後者（テンプレート:Lang; 後継、次の元、直後の元）を持つ。これはつまり、テンプレート:Mvar よりも大きな テンプレート:Mvar の元全体の成す部分集合における最小元として テンプレート:Mvar の後者が決まるということである。また、整列集合 テンプレート:Mvar の中で上に有界な任意の部分集合は（その上界全体の成す テンプレート:Mvar の部分集合に最小元がとれるから）必ず上限を持つ。また、整列集合 テンプレート:Mvar の最小元は前者（テンプレート:Lang; 直前の元）を持たないが、無限整列集合においては、最小元以外にも前者を持たない元が存在しうる。例えば、後述する「全ての偶数が全ての奇数より小さい」とする自然数の整列順序（テンプレート:Math）における「テンプレート:Math」は、全体の最小元ではないが直前の元を持たない。

集合に整列順序が与えられれば、そこでは集合の全ての元に対する命題の超限帰納法を用いた証明を考えることができる。

自然数全体の成す集合 テンプレート:Mathbf が通常の大小関係 "テンプレート:Math" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる。

（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。

順序数

テンプレート:Main 任意の整列集合は、その整列集合の順序型と呼ばれるただ一つの順序数に順序同型である。順序集合の各元の位置は順序集合によっても与えられる。有限集合の場合、数え上げという基本的な操作によって対象の一つ一つに（何番目の元であるかを意味する）順序数を割り当てることで、特定の対象の順序数を求めることができ、あるいは特定の順序数をもつ対象を求めることもできる。有限集合ではその大きさ、つまりその元の個数を意味する基数と、その順序型である順序数とは一致すると考えることができる。日常的な数え上げの慣習通り 1 から順番に順序数を割り当てた場合、有限集合における最後の元に割り当てられる順序数はその集合の基数と一致する。

一方、順序同型にしたがって定義される標準的な順序数は 0 から数え始めるため、各対象に対応する順序数は 1 から数え始める場合よりも 1 だけ小さくなる。すなわち、厳密な意味での順序数は、その対象よりも前に存在する対象の数に等しい。ゆえに有限な テンプレート:Mvar に対して整列集合の「テンプレート:Mvar-番目の元」と言及する場合、文脈上 0 から数え始めているか 1 から数え始めているかを明確にする必要がある。テンプレート:Mvar が超限順序数（無限順序数）であるときに「テンプレート:Mvar-番目の元」と表記される場合、一般には 0 から数え始める方式が採用される。

無限集合についても、その順序型はそれに属する基数を一意的に決定するが、逆は成り立たず、同じ基数をもつ整列集合で相異なる順序型を持つものが無数に存在しうる。たとえ可算無限集合だとしても、その集合の順序型として可能なものの数は非可算である。

同値な定式化

順序集合 テンプレート:Mvar が全順序集合である場合には、以下の条件はどれも互いに同値である。

  1. テンプレート:Mvar は整列集合である。つまり、空でない任意の部分集合が最小元を持つ。
  2. テンプレート:Mvar の全体で超限帰納法が有効である。
  3. テンプレート:Mvar の元からなる任意の狭義単調減少列は必ず有限な長さで停止する（ただし、従属選択公理を仮定する）。

例と反例

有限集合

通常の大小関係が与えられた有限な全順序集合は、全て整列集合である。空集合は自明な整列集合（順序型は 0）であり、元の数が n 個の有限全順序集合の順序型は n となる。

自然数の全体 テンプレート:Mathbf

（テンプレート:Math を含む）自然数全体の成す集合 テンプレート:Mathbf は通常の大小関係 テンプレート:Math が整列順序を与える。この整列集合の順序型は テンプレート:Mvar で表される。さらに、テンプレート:Math でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。

テンプレート:Mathbf における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序

テンプレート:Math

が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は テンプレート:Mvar である。任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が テンプレート:Math と テンプレート:Math の二つ存在する。

整数の全体 テンプレート:Mathbf

自然数の全体に通常の大小関係を考えたものとは異なり、整数全体の成す集合 テンプレート:Mathbf に通常の大小関係 テンプレート:Math を考えたものは整列集合ではない。たとえば、負の整数全体の成す集合には最小元が存在しない。

たとえば、次のような二項関係 テンプレート:Mvar を考えれば、テンプレート:Mathbf を整列集合にすることができる。

ふたつの整数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar となるための必要十分条件は

  1. テンプレート:Math;
  2. テンプレート:Mvar が正で テンプレート:Mvar が負;
  3. テンプレート:Mvar がともに正で、テンプレート:Math;
  4. テンプレート:Mvar がともに負で テンプレート:Math

のうちのいずれか一つが成立することと定める。この関係 テンプレート:Mvar は要するに

テンプレート:Math

となる順序として表すことができる。この整列順序 テンプレート:Mvar に関する整列集合 テンプレート:Mathbf の順序型は順序数 テンプレート:Mvar に順序同型である。

テンプレート:Mathbf の別な整列順序の例としては、テンプレート:Math として定まる順序 テンプレート:Math が挙げられる。図示すれば

テンプレート:Math

である。これは テンプレート:Mvar を順序型とする整列順序である。

実数からなる集合

正の実数全体の成す集合 テンプレート:Math に通常の大小関係 テンプレート:Math を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 テンプレート:Open-open は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 テンプレート:Mathbf 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、テンプレート:Mathbf 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、テンプレート:Mathbf 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が テンプレート:Mathbf（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。

テンプレート:Mathbf の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 テンプレート:Mathbf を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≤ が整列順序となることも、ならないこともありうる。整列順序となる例としては次のようなものが挙げられる。

順序位相

任意の整列集合は順序位相を与えて位相空間にすることができる。順序位相に関して、この位相空間の元は次の二種類に分けることができる。

  • 孤立点: 最小元や直前の元を持つ元などはこちらの種類の点になる。
  • 集積点: 有限整列集合ではこの種類の元は存在できない。また、無限整列集合は集積点を持つことも持たないこともある。集積点を持たない無限整列集合（たとえば テンプレート:Mathbf）は順序型 テンプレート:Mvar を持つ。

また、この位相空間の部分集合については以下のように区別できる。

  • 最大元を持つ部分集合（つまり、それ自身で有界な集合）。このような部分集合の最大元は、全体集合の孤立点となる場合も集積点となる場合もある。後者の場合に、それがその部分集合の集積点であるかどうかは場合による。
  • それ自身は有界ではないが、全体集合の中では有界な部分集合。このような部分集合は最大元を持たないが、部分集合に属さない上限を持つ。この部分集合が空でないならば、この上限はこの部分集合の集積点であり、したがって全体集合の集積点でもある。一方、空集合の場合は上限は全体集合における最小元である。
  • 全体集合においても有界でない部分集合。

部分集合が共終 テンプレート:Lang であるための必要十分条件は、それが全体集合の中で有界でないか、それが全体集合の中でも最大元となるような最大元をもつことである。

位相空間としての整列集合が、第一可算空間となるための必要十分条件は、それが テンプレート:Math 以下の順序数を順序型に持つことである。これはつまり、その集合が可算であるか、または最小の非可算順序型を持つということを言っている。

関連項目

参考文献

テンプレート:Reflist

外部リンク

  1. ↑ S. Feferman: "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets", Fundamenta Mathematicae, 56 (1964) 325-345
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