斜交座標系

斜交座標系（2次元）

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、テンプレート:Lang）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

2次元平面における斜交座標系

2本の数直線 テンプレート:Math が共通の原点をもち、なす角 テンプレート:Mvar（ただし テンプレート:Math）で交わっているとき、その座標系はテンプレート:Mvar軸、テンプレート:Mvar軸からなる斜交座標となる。 座標平面上の全ての点テンプレート:Mathは、その点からテンプレート:Mvar軸、テンプレート:Mvar軸に関して平行線をひくことにより、テンプレート:Math と一意に表すことができる。 逆に座標 テンプレート:Math が与えられれば、テンプレート:Mathの位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角 テンプレート:Math のときとして、斜交座標系は直交座標系を含む。

直交座標系との座標変換

テンプレート:Mvar軸、テンプレート:Mvar軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つテンプレート:Math軸、テンプレート:Math軸からなる直交座標系について、テンプレート:Mvar軸、テンプレート:Mvar軸がテンプレート:Math軸となす角をそれぞれ テンプレート:Math とする。 斜交座標系で テンプレート:Math と表されている点を直交座標 テンプレート:Math に座標変換する公式は以下である：

$\left(\begin{array}{c}{a}^{\prime }\\ b^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \cos \varphi \\ \sin \theta & \sin \varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

直交座標系はこの表記では テンプレート:Math の場合である．

内積

テンプレート:See also 直交座標系の場合は、2つのベクトル $\overrightarrow{u}=(u_x,u_y),\overrightarrow{v}=(v_x,v_y)$ の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる： テンプレート:NumBlk

あるいは次のようにも表現できるテンプレート:Efn2：

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}& =u^i{v}_i=u^1{v}_1+u^2{v}_2,\\ (u^1,u^2)& :=(u_x,u_y),\\ (v_1,v_2)& :=(v_x+v_y\cos (\varphi -\theta ),v_x\cos (\varphi -\theta )+v_y)\end{array}$

このとき、添字が上についている量（テンプレート:Math など）を反変成分、下についている量（テンプレート:Math など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）を${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2$ とすれば、反変成分を用いて

$\overrightarrow{u}=u^i{\overrightarrow{e}}_i=u^1{\overrightarrow{e}}_1+u^2{\overrightarrow{e}}_2$

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして

• ${\overrightarrow{e}}^1$：テンプレート:Mvar軸（または${\overrightarrow{e}}_2$）に垂直で長さが テンプレート:Math のベクトル
• ${\overrightarrow{e}}^2$：テンプレート:Mvar軸（または${\overrightarrow{e}}_1$）に垂直で長さが テンプレート:Math のベクトル

とすればテンプレート:Efn2、共変成分を用いて

$\overrightarrow{v}=v_i{\overrightarrow{e}}^i=v_1{\overrightarrow{e}}^1+v_2{\overrightarrow{e}}^2$

と書くことができる。

上記の議論は$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ を入れ替えても同様に成り立つ。

計量テンソル

式(テンプレート:EquationNote)の右辺に表れた行列

$\left(\begin{array}{cc}1& \cos (\varphi -\theta )\\ \cos (\varphi -\theta )& 1\end{array}\right)$

は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。 斜交座標系では計量テンソル テンプレート:Mvar は

$\begin{array}{cc}{g}_{ij}& =\left(\begin{array}{cc}{\overrightarrow{e}}_1\cdot {\overrightarrow{e}}_1& {\overrightarrow{e}}_1\cdot {\overrightarrow{e}}_2\\ {\overrightarrow{e}}_2\cdot {\overrightarrow{e}}_1& {\overrightarrow{e}}_2\cdot {\overrightarrow{e}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& \cos (\varphi -\theta )\\ \cos (\varphi -\theta )& 1\end{array}\right),\\ g^{ij}& =\left(\begin{array}{cc}{\overrightarrow{e}}^1\cdot {\overrightarrow{e}}^1& {\overrightarrow{e}}^1\cdot {\overrightarrow{e}}^2\\ {\overrightarrow{e}}^2\cdot {\overrightarrow{e}}^1& {\overrightarrow{e}}^2\cdot {\overrightarrow{e}}^2\end{array}\right)=\frac{1}{{\sin }^2(\varphi -\theta )}\left(\begin{array}{cc}1& -\cos (\varphi -\theta )\\ -\cos (\varphi -\theta )& 1\end{array}\right)=(g_{ij}{)}^{-1}\end{array}$

となる。また反変成分と共変成分の変換は

$u_i=g_{ij}{u}^j,u^i=g^{ij}{u}_j$

とシンプルに表すことができる．

多次元の場合

テンプレート:節stub 以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。

関連項目

• 直交座標系
• 極座標系