普遍係数定理

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普遍係数定理（ふへんけいすうていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、単項イデアル整域テンプレート:Mvar上定義されたホモロジーやコホモロジーから、テンプレート:Mvar-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。

定理はテンプレート:Mvar-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。

準備

本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるテンプレート:Math関手、テンプレート:Math関手を定義する。

ホモロジー

テンプレート:Mvarを可換環とするとき、整数テンプレート:Mvarを添え字として持つテンプレート:Mvar-加群 $C_{n}$ と写像 $\partial_{n} : C_{n} \to C_{n - 1}$ の組 $C_{*} : = (C_{n}, \partial_{n})_{n \in ℤ}$ で、

\partial_{n - 1} \circ \partial_{n} = 0

となるものテンプレート:Mvar上のチェイン複体といい^[1]、

H_{n} (C_{*}) : = K e r (\partial_{n}) / I m (\partial_{n + 1})

を $C_{*}$ のテンプレート:Mvar次のホモロジー加群という^[1]。

コホモロジー

可換環テンプレート:Mvarに対し、 $C^{*} = (C^{n}, δ^{n})_{n \in ℤ}$ で $D_{*} : = (C^{- n}, δ^{- n})_{n \in ℤ}$ がテンプレート:Mvar上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい^[2]、

H^{n} (C^{*}) : = H_{n} (D_{*})

を $C^{*}$ のテンプレート:Mvar次のコホモロジー加群という^[2]。

テンプレート:Math関手

テンプレート:Main

テンプレート:Mvarを単項イデアル整域とし、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar-加群とする。さらに短完全系列

0 ⟶ A \overset{ι}{⟶} B \overset{p}{⟶} M \to 0

でテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarが自由テンプレート:Mvar-加群であるものを選び^{[注 1]}、

0 ⟶ A \otimes_{R} N \overset{ι \otimes_{R} 1_{N}}{⟶} B \otimes_{R} N \overset{p \otimes_{R} 1_{N}}{⟶} M \otimes_{R} N ⟶ 0

を考えると必ずしも完全系列にならないテンプレート:Refn。そこで

{T o r}_{R} (M, N) : = K e r (ι \otimes_{R} 1_{N})

と定義する^[3]。 ${T o r}_{R} (M, N)$ の定義はテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの取り方に依存しているが、実はテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarを別のものに取り替えて定義した ${T o r}_{R} (M, N)$ と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである^[3]。

${T o r}_{R} (\cdot, \cdot)$ の事をテンプレート:Math関手という。

なお、テンプレート:Mvarが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもテンプレート:Mathが定義できるが本項では割愛する。また ${T o r}_{R} (M, N)$ の事を ${T o r}_{R}^{1} (M, N)$ と表記し、より一般に ${T o r}_{R}^{n} (M, N)$ （テンプレート:Math）を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。

テンプレート:Math関手は以下の性質を満たす。テンプレート:Math theorem テンプレート:Math proof

テンプレート:Mvarが単項イデアル整域であるので、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarと複数のテンプレート:Mathの直和で書け、テンプレート:Mvarも同様である。上述の1., 2.からテンプレート:Mathは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するテンプレート:Mathを容易に計算できる。

テンプレート:Math関手

テンプレート:Main テンプレート:Mathのときと同様、テンプレート:Mvarを単項イデアル整域とし、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar-加群とし、さらに短完全系列

0 ⟶ A \overset{ι}{⟶} B \overset{p}{⟶} M \to 0

でテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarが自由テンプレート:Mvar-加群であるものを選ぶ^{[注 1]}。そして

0 ⟶ {H o m}_{R} (M, N) \overset{p^{*}}{⟶} {H o m}_{R} (B, N) \overset{ι^{*}}{⟶} {H o m}_{R} (A) \to 0

を考えると必ずしも完全系列にはならないテンプレート:Refn。そこで

{E x t}_{R} (M, N) : = {C o k e r}_{R} (ι^{*})

と定義する^[4]。ここでテンプレート:Mathは余核である。すなわち、 $f : X \to Y$ に対し、 $C o k e r (f) = Y / I m (f)$ である。

${E x t}_{R} (M, N)$ の定義はテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの取り方に依存しているが、実はテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarを別のものに取り替えて定義した ${E x t}_{R} (M, N)$ と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである^[4]。

${E x t}_{R} (\cdot, \cdot)$ の事をテンプレート:Math関手という。

また ${E x t}_{R} (M, N)$ に関しても ${T o r}_{R} (M, N)$ と同様、テンプレート:Mvarが一般の環の場合に対しても定義できるし、 ${E x t}_{R}^{n} (M, N)$ が定義できて ${E x t}_{R} (M, N) = {E x t}_{R}^{1} (M, N)$ であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。

テンプレート:Math関手は以下を満たす：テンプレート:Math theorem

テンプレート:Math proof

テンプレート:Mathの場合と同様、テンプレート:Mvarが有限生成テンプレート:Mvar-加群であれば、これらの性質からテンプレート:Mathを具体的に計算できる。

テンプレート:Mathに関する普遍係数定理

ホモロジーの場合

次の定理が成立することが知られている：テンプレート:Math theorem

上記の定理でテンプレート:Mvarは $[c] \otimes_{R} m \in H_{n} (C_{*}) \otimes_{R} M \mapsto [c \otimes_{R} m] \in H_{n} (C_{*} \otimes_{R} M)$ と具体的に書ける^[5]。

なお、係数環テンプレート:Mvarが $ℤ$ でテンプレート:Mvarが $ℤ / p ℤ$ の場合は、上記の定理はテンプレート:仮リンクの特別な場合に相当する。

$R = ℤ$ で各 $H_{n} (C_{*})$ が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 $H_{n} (C_{*})$ は自由加群部分テンプレート:Mathと素数テンプレート:Mvarに対する $T_{n, p} = {x \in H_{n} (C_{*}) ∣ \exists m > 0 : p^{m} x = 0}$ の和で書ける。（有限個の素数テンプレート:Mvarを除いて $T_{n, p} = 0$ である）。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる：テンプレート:Math theorem

コホモロジーの場合

チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う：テンプレート:Math theorem この短完全系列が $C^{*}$ 、テンプレート:Mvarに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。

また $R = ℤ$ で各 $H^{n} (C_{*})$ が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。

テンプレート:Mvar係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理

上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をテンプレート:Mvarを係数に持つコホモロジー（例えばテンプレート:Mvarを係数にもつ特異コホモロジー）に適用する場合は注意が必要である。

定義

これまで同様テンプレート:Mvarが単項イデアル整域とし、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar-加群する。テンプレート:Mvar上のチェイン複体 $C_{*} : = (C_{n}, \partial_{n})_{n \in ℤ}$ に対し、

\partial_{n}^{*} : {H o m}_{R} (C_{n}, M) \to {H o m}_{R} (C_{n + 1}, M), c \mapsto c \circ \partial_{n + 1}

と定義すると

\partial_{n + 1}^{*} \circ \partial_{n}^{*} = 0

であるので ${H o m}_{R} (C_{*}, M) : = ({H o m}_{R} (C_{*}, M), \partial_{n}^{*})_{n \in ℤ}$ はコチェイン複体である。 ${H o m}_{R} (C_{*}, M)$ をテンプレート:Mvarに関する $C_{*}$ の双対コチェイン複体（テンプレート:Lang-en-short）という^[6]。

テンプレート:Math theorem

ホモロジーの場合

テンプレート:Mvarに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、

H_{n} (C_{*}; M) = H_{n} (C_{*} \otimes_{R} M)

H_{n} (C_{*}; R) = H_{n} (C_{*} \otimes_{R} R) = H_{n} (C_{*})

なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理の $H_{n} (C_{*} \otimes_{R} M)$ 、 $H_{n} (C_{*})$ を単純に置き換える事で、以下の系が従う：テンプレート:Math theorem

コホモロジーの場合

一方、テンプレート:Mvarを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、 $C^{*} : = {H o m}_{R} (C_{*}, R)$ としてやると、

H^{n} (C_{*}; R) = H^{n} (H o m (C_{*}, R)) = H^{n} (C^{*})

であるが、 $H^{n} (C_{*}; M)$ の方は

H^{n} (C^{*}; M) = H^{n} (H o m (C_{*}, M))

であり、コホモロジーの普遍係数定理における

H^{n} (C^{*} \otimes_{R} M) = H^{n} (H o m (C_{*}, R) \otimes_{R} M)

とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、テンプレート:Mvarを係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：

テンプレート:Math theorem

テンプレート:Mathに関する普遍係数定理

テンプレート:Math関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。

前に述べたように、チェイン複体 $C_{*}$ の双対コチェイン複体 ${H o m}_{R} (C_{*}, M) : = ({H o m}_{R} (C_{*}, M), \partial_{n}^{*})_{n \in ℤ}$ に対し、テンプレート:Mvarを係数に持つコホモロジー加群を $H^{n} (C_{*}; M) = H^{n} ({H o m}_{R} (C_{*}; M))$ により定義する。

このとき以下の定理がしたがう：テンプレート:Math theorem

上述の定理においてテンプレート:Mvarは $[φ] \in H^{n} (C_{*}; M) = H^{n} ({Hom}_{R} (C_{*}, M))$ に対し、 $[c] \in H^{n} (C_{*}) \mapsto φ (c) \in M$ という ${Hom}_{R} (H_{n} (C_{*}), M)$ の元を対応させる写像である^[7]。

$R = ℤ$ で各 $H_{n} (C_{*})$ が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 $H_{n} (C_{*})$ は自由加群部分テンプレート:Mathと捩れ部分群部分 $T_{n}$ の和で書ける。この事実と[[#Extの性質|テンプレート:Mathの性質]]を利用すると、以下がわかる：テンプレート:Math theorem

上記により $ℤ$ -係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はテンプレート:Mathに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。

$H_{n} (C_{*})$ が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：テンプレート:Math theorem

上述の定理において、テンプレート:Mvarは $[z] \otimes m \in H_{n} (C_{*} \otimes_{R} M) = H_{n} (C_{*}; M)$ に対し、 $[f] \in H^{n} (C_{*}) \mapsto f (z) m \in M$ という $H o m (H^{n} (C_{*}), M)$ の元を対応させる写像である^[8]。

脚注

出典

テンプレート:Reflist

注釈

テンプレート:Reflist

参考文献

引用文献

その他

- Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
- テンプレート:Cite journal
- テンプレート:Cite book

外部リンク

Universal coefficient theorem with ring coefficients Mathematics

↑ ^1.0 ^1.1 #河田 pp.55-56.
↑ ^2.0 ^2.1 #河田 p.69.
↑ ^3.0 ^3.1 #Dieck p.292.
↑ ^4.0 ^4.1 #Dieck p.294.
↑ 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「Dieck295」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません
↑ 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「Diek297」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません
↑ #Dieck p.296.
↑ #Davis p.48.

引用エラー: 「注」という名前のグループの <ref> タグがありますが、対応する <references group="注"/> タグが見つかりません

[:1-1] 1.0 ^1.1 #河田 pp.55-56.

[:0-2] 2.0 ^2.1 #河田 p.69.

[:4-4] 3.0 ^3.1 #Dieck p.292.

[:5-5] 4.0 ^4.1 #Dieck p.294.

[Dieck295-6] 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「Dieck295」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません

[Diek297-7] 引用エラー: 無効な <ref> タグです。「Diek297」という名前の注釈に対するテキストが指定されていません

[Dieck296-8] #Dieck p.296.

[Davis48-9] #Davis p.48.

[1]

[2]

[注 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

普遍係数定理

目次

準備

ホモロジー

コホモロジー

テンプレート:Math関手

テンプレート:Math関手

テンプレート:Mathに関する普遍係数定理

ホモロジーの場合

コホモロジーの場合

テンプレート:Mvar係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理

定義

ホモロジーの場合

コホモロジーの場合

テンプレート:Mathに関する普遍係数定理

関連項目

脚注

出典

注釈

参考文献

外部リンク

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