正準量子重力理論

テンプレート:Expand English 正準量子重力理論（せいじゅんりょうしじゅうりょくりろん）とは、古典的な量子重力理論の一種で、4次元空間における物体の運動を3次元空間における運動として記述するものである。この理論の課題として、座標を普遍的に適用できないこと、現実の観測で使われる基準系との食い違いが生じること、拘束条件を解くことが難しいこと、ゲージ固定によって得られる量子論との関係が分かっていないことなどが挙げられる。

正準量子化

古典力学のハミルトン形式において、ポアソン確固というものは重要な概念である。正準座標系は正準座標及び正凖ポアソン括弧関係を満たす正準運動量で構成されている。$$\{q_i,p_j\}={\delta }_{ij}$$ここで、ポアソン括弧は任意の位相空間関数$f(q_i,p_j)$ と$g(q_i,p_j)$にたいし、以下のように与えられる。 $$\{f,g\}=\sum _{i=1}^N(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}).$$ポアソン括弧を用いると、正準方程式以下のように書き換えることができる。 $${\dot{q}}_i=\{q_i,H\},$$ $${\dot{p}}_i=\{p_i,H\}.$$

これらの方程式は流れ、またはハミルトニアン$H$で一般化される位相空間内の軌道を決める。任意の位相空間$F(q,p)$を与えると、我々は以下を得る。$$\frac{d}{dt}F(q_i,p_i)=\{F,H\}.$$

正準量子化では、位相空間変数はヒルベルト空間上の量子演算子に昇格し、位相空間変数のポアソン括弧は正準交換関係に変わる。: $$[\hat{q},\hat{p}]=i\hslash .$$

いわゆる座標表示において、この交換関係は、この選択によって実現できる。 $$\hat{q}\psi (q)=q\psi (q)$$ そして、$$\hat{p}\psi (q)=-i\hslash \frac{d}{dq}\psi (q)$$

この力学はシュレティンガー方程式$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =\hat{H}\psi$$によって決まる。ここで、 $\hat{H}$は、 ハミルトニアン $H(q,p)$ において、 $q\mapsto q$ と$p\mapsto -i\hslash \frac{d}{dq}$を置き換えることにより形成される演算子である。