比例式

比例式（ひれいしき）とは、比あるいは連比に関する等式のことである。

A に対する B の割合が、X に対する Y の割合に等しいとき、

A : B = X : Y

と書く。すなわち、ある比とある比が等しいとき、このように比と比を等号で結んだものを比例式という

定義

A : B = X : Y すなわち、二つの比 A : B と X : Y が等しいとは、B に対する A の割合が、Y に対する X の割合に等しいことであると定義すると、これはすなわち

\frac{A}{B} = \frac{X}{Y}

なる分数の等式が成り立つことである。これは

A : B = X : Y ⟺ \frac{B}{A} = \frac{Y}{X}

あるいは

A : B = X : Y ⟺ \frac{A}{X} = \frac{B}{Y}

と定義しても同じである。このように定義される比の等式 A : B = X : Y あるいは分数の等式 A / B = X / Y を比例式という。また、連比が等しいとは、

A_{1} : A_{2} : \dots : A_{n} = X_{1} : X_{2} : \dots : X_{n} ⟺ \frac{A_{1}}{X_{1}} = \frac{A_{2}}{X_{2}} = \dots = \frac{A_{n}}{X_{n}}

と定義され、比の場合と同様に等式

A_{1} : A_{2} : \dots : A_{n} = X_{1} : X_{2} : \dots : X_{n}

または

\frac{A_{1}}{X_{1}} = \frac{A_{2}}{X_{2}} = \dots = \frac{A_{n}}{X_{n}}

のことを比例式とよぶ。

比例式

\frac{A_{1}}{X_{1}} = \frac{A_{2}}{X_{2}} = \dots = \frac{A_{n}}{X_{n}}

の値を c とすると

\frac{A_{1}}{X_{1}} = c, \frac{A_{2}}{X_{2}} = c, \dots, \frac{A_{n}}{X_{n}} = c

が成り立つから、これを連立一次方程式

{\begin{matrix} A_{1} = c X_{1}, \\ A_{2} = c X_{2}, \\ ⋮ \\ A_{n} = c X_{n} . \end{matrix}

の形に表示することができる。

比例式には、次のような性質がある。