滑りとねじれのない転がし

テンプレート:Pathnavbox テンプレート:暫定記事名 滑りとねじれのない転がしテンプレート:Refn（テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:Mvar次元リーマン多様体をテンプレート:Mvar次元平面上「滑り」も「ねじれ」もなく転がす事である。

滑りとねじれのない転がし

すなわち、テンプレート:Mvar次元リーマン多様体テンプレート:Mvar上に曲線${\sigma }_1(t)$を取り（図の青の線）、${\sigma }_1(t)$に沿ってテンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar次元平面${ℝ}^n$上を「滑ったり」、「ねじれたり」する事なく転がしたときにできる曲線の軌跡を${\sigma }_0(t)$とする（図の紫の線）。この${\sigma }_0(t)$をテンプレート:Mvar上のリーマン計量によって記述するのが、「滑りとねじれのない転がし」の問題である。

${\sigma }_0(t)$はリーマン計量から定まるカルタン接続により決定する事が知られており、またテンプレート:Mvar上の$\sigma (t)$に沿った（レヴィ・チヴィタ接続に関する）平行移動が${ℝ}^n$上の平行移動と自然に対応する事が知られている。

以下、本項では特に断りがない限り、単に多様体、関数等といった場合はテンプレート:Mvar級のものを考える。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考え、多様体は縁のないものを考える。

定義と基本的性質

定義

上ではテンプレート:Mvarを${ℝ}^n$上転がす場合を考えたが、より一般に、リーマン多様体テンプレート:Mvarを別のリーマン多様体テンプレート:Mvar上転がす場合の定義を与える。

まず定義を天下り的に与える。 テンプレート:Math theoremここで$\dot{g}(t)$は$g(t)$のテンプレート:Mvarによる微分であり、$T_{{\sigma }_i(t)}{M}_i$はテンプレート:Mvarの${\sigma }_i(t)$における接ベクトル空間を自然に${ℝ}^N$の部分空間とみなしたものであり、$T_{{\sigma }_i(t)}^{\mathrm{\perp }}{M}_i$は$T_{{\sigma }_i(t)}{M}_i$の直交補空間である。

定義の直観的な意味

定義の各条件の直観的な意味は以下の通りである：

「転がし」条件

「転がし」条件：テンプレート:Mvarを合同変換$g(t)$で変換したとき、１つ目の条件は${\sigma }_1(t)\in M_1$が${\sigma }_0(t)\in M_0$とが重なる事を意味し、2つ目の条件はテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarとが接する事を意味する。

「滑りなし」条件

${\sigma }_0(t)\in M_0$の「無限小合同変換」$\frac{d}{ds}g(t+s)g^{-1}(t){|}_{s=0}=\dot{g}(t)g(t{)}^{-1}$での${\sigma }_0(t)$の移動がテンプレート:Mvarになる事を要請している。簡単のため時刻テンプレート:Mvarに${\sigma }_0(t)$が${\sigma }_1(t)$に重なるよう変換した

${\tilde{\sigma }}_1(t):=g(t_0){\sigma }_1(t)$

${\tilde{g}}_0(t):=g(t)g(t_0{)}^{-1}$

を考えると、

$\dot{{\tilde{\sigma }}_1}(t_0)$$=\frac{d}{dt}\tilde{g}(t){\tilde{\sigma }}_0(t){|}_{t=t_0}$$=\dot{\tilde{g}}(t_0){\tilde{\sigma }}_0(t_0)+\tilde{g}(t_0){\dot{\tilde{\sigma }}}_0(t_0)$$=\dot{g}(t_0){\sigma }_0(t_0)+{\dot{\sigma }}_0(t_0)$

であるので、滑りなし条件は任意のテンプレート:Mvarに対し${\dot{\tilde{\sigma }}}_0(t_0)={\dot{\sigma }}_1(t_0)$が成立する事と同値であり、したがって${\sigma }_0(t)\in M_0$の長さ$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\Vert {\dot{\sigma }}_0(t)\Vert dt=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\Vert {\dot{\tilde{\sigma }}}_0(t)\Vert dt$が${\sigma }_1(t)\in M_1$の長さと等しくなる事と意味する。

もし${\sigma }_1(t)$が「滑って」いれば${\sigma }_0(t)$と${\sigma }_1(t)$の長さが異なってしまうので、上記の条件は滑りがない事を意味すると解釈できる。

水平方向の「ねじれなし」条件

${\tilde{\sigma }}_1(t)$、$\tilde{g}(t)$を前述のように取ると、$T_{{\tilde{\sigma }}_1(t_0)}(\tilde{g}(t_0)M_1)=T_{{\sigma }_0(t_0)}{M}_0$である。したがって水平方向の「ねじれなし」条件は時刻テンプレート:Mvarにはテンプレート:Mvarに接していた$\tilde{g}(t{)}_{*}(T_{{\sigma }_1(t_0)}(M_1))=T_{{\tilde{\sigma }}_1(t)}(\tilde{g}(t)M_1)$が$\tilde{g}(t)M_1$の「無限小回転」により鉛直方向にのみ移動する事を保証する。図１のように平面上で自転している物体の場合、平面に水平な微分が生じ、水平方向に「ねじれて」いる事になる。

垂直方向の「ねじれなし」条件

水平方向のねじれなし条件と同様、$\tilde{g}(t{)}_{*}(T_{{\sigma }_1(t_0)}^{\mathrm{\perp }}(M_1))=T_{{\tilde{\sigma }}_1(t)}^{\mathrm{\perp }}(\tilde{g}(t)M_1)$が$\tilde{g}(t)M_1$の「無限小回転」により水平方向にのみ移動する事を保証する。図２では直線（図示せず）の周りを円が回転しているが、この場合、直線に鉛直な方向の微分が残り、垂直方向に「ねじれて」いる事になる。

基本的な性質

滑りとねじれのない転がしは一意に存在する：テンプレート:Math theoremよってテンプレート:Mvarの一意性から、${\sigma }_0:I\to M_0$をテンプレート:Mvarのテンプレート:Mvarによる発展とするとき、テンプレート:Mvarの事を（テンプレート:Mvarを明示せず）テンプレート:Mvarの発展と呼ぶ。

明らかに以下の「対称律」が成立する：テンプレート:Math theoremまた「推移律」も成立する：テンプレート:Math theorem

カルタン接続およびレヴィ・チヴィタ接続との関係

カルタン接続との関係

テンプレート:Main $(M,g)$をリーマン多様体とすると、$(M,g)$にはユークリッド幾何学$(G,H)=(\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^n),O(n))$をモデルとする捩れのないカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$の構造が一意に入る事が知られている。

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar上の区分的になめらかな曲線とすると、カルタン幾何学構造$(\pi ,P,\omega )$により定まるテンプレート:Mvarの発展

${\sigma }_0:I\to G/H={\mathrm{E}\mathrm{u}\mathrm{c}}_n({ℝ}^n)/O(n)\approx {ℝ}^n$

が定義可能である。実はこのカルタン幾何学の意味での発展は、滑りとねじれのない転がしによる発展と一致する：テンプレート:Math theorem

レヴィ-チヴィタ接続との関係

テンプレート:Mvar次元リーマン多様体$M\subset {ℝ}^N$を曲線${\sigma }_1:I\to M$に沿って滑りもねじれもなく${ℝ}^n\subset {ℝ}^N$転がしたときの発展を${\sigma }_0:I\to {ℝ}^n$とすると、時刻テンプレート:Mvarに${\sigma }_1(t)$が${ℝ}^n$に接した瞬間に$T_{{\sigma }_1(t)}M$が${ℝ}^n$に重なるので、自然に写像

${\phi }_t:T_{{\sigma }_1(t)}M\to {ℝ}^n$

が定義できる。この写像を使うと、テンプレート:Mvarのレヴィ・チヴィタ接続テンプレート:Mvarの幾何学的意味を述べることができる：テンプレート:Math theoremすなわち、曲線${\sigma }_1(t)$に沿った$v(t)$の共変微分を${ℝ}^n$に移したものは、$v(t)$を移したものを通常の意味で微分したものに一致する。この事実から特に、レヴィ-チヴィタ接続による平行移動と${ℝ}^n$における通常の意味での平行移動の関係を示すことができる：テンプレート:Math theorem

参考文献

• テンプレート:Cite book