計量テンソル (一般相対論)

一般相対性理論における計量テンソル（けいりょうテンソル、テンプレート:Lang-en-short）とは、時空の局所的な曲がり具合、重力ポテンシャルを表すテンソルである。計量テンソルは単にメトリックと言う。

定義

計量テンソルは一般的にテンプレート:Mvarと表される。計量テンソルは時間の関数なので、特殊相対論で表されていた計量テンソル$g_{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ではなく、一般化し、$g_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}{g}_{00}& g_{01}& g_{02}& g_{03}\\ g_{10}& g_{11}& g_{12}& g_{13}\\ g_{20}& g_{21}& g_{22}& g_{23}\\ g_{30}& g_{31}& g_{32}& g_{33}\end{array}\right)$と表すテンプレート:Sfn。これは、空間に重力を適用するとき、0と1だけでは、空間の曲率が表せないため、一般化して行列の中がテンソルとなっているテンプレート:Sfn。一般化した計量テンソルは対象テンソルなので、01と10や12と21などテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarを入れ替えても同じな成分は無視してもよいテンプレート:Sfn。そして計量テンソルは単位テンソルの添え字を上げ下げしたものであり、同様に計量テンソルも右にあるテンソルやベクトルの添え字を上げる役割を持つ。テンプレート:Sfn例として、テンプレート:Mathと表すテンプレート:Sfn。

性質として、計量テンソルは二階微分するとリーマン曲率テンソルになるテンプレート:Sfn。

距離と時間間隔

真の時間τと$x_0$との関係を求める。そのために空間の同一点で生じた２つの事象について考えるとき、２つの事象の世界間隔$d{s}^2$は$cd\tau$である。ここでdτは２つの間の時間間隔である。なので、一般的な表現$d{s}^2=g_{ik}d{x}^{i}d{x}^k$において、$d{x}^1=d{x}^2=d{x}^3=0$とおけば、$d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2=g_{00}(d{x}^0{)}^2$で、$d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}}d{x}^0$であり、あるいは空間の同一点で生ずる任意の2個の事象の間の時間として、$\tau =\frac{1}{c}\int \sqrt{g_{00}}d{x}^0$となるテンプレート:Sfn

参考文献

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関連項目

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外部リンク

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