単位テンソル

単位テンソル（たんいテンソル、英：Unit tensor）とは、計量テンソルと同じく、「作用されるベクトルの添字を上げ下げする」という特性をもつテンソルである。

定義

単位テンソルとは、任意の4元ベクトルで次のような等式が成り立つ時の${\delta }_i^k$を言う。${\delta }_i^k{A}^i=A^k$。成分は、${\delta }_i^k=\left\{\begin{array}{cc}1& i=k\\ 0& i\ne k\end{array}\right\}$。である。そして下付きの添え字、または他方を下げると共変のテンソル、反変のテンソルが出てくるが、それは計量テンソルと呼ぶ。

導出方法

任意のテンソルは対称テンソルと反対称テンソルの和に分けることができ、

$T_{ij}=\frac{1}{2}(T_{ij}+T_{ij})+\frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ij})$

そして

,$T_{lm}={\alpha }_{il}{\alpha }_{jm}{T}_{ij}$

の式の$T_{ij}$に${\delta }_{ij}$を代入すると、

$T_{lm}={\alpha }_{il}{\alpha }_{jm}{\delta }_{ij}={\alpha }_{il}{\alpha }_{jm}={\delta }_{lm}$である。なのでクロネッカーのデルタはテンソルであるので${\delta }_{ij}$はどの直交座標系において単位行列の成分をもつテンソルであり、これを単位テンソルとよぶ。

参考文献

• ランダウ、リフシッツ　理論物理学教程「場の古典論」東京図書株式会社　1978年10月30日

外部リンク

テンソルの性質　その1 2025/07/08観覧

関連項目

• 単位ベクトル