重畳加算法

重畳加算法 (ちょうじょうかさんほう、テンプレート:Lang-en) とは、非常に長い信号 $𝐱$ と FIRフィルタ $𝐡$ の 離散畳み込み $𝐡*𝐱$ を分割して(効率的に)処理する手法である。

$\begin{array}{c}y[n]=(𝐡*𝐱)[n]=\sum _{m=0}^{M-1}h[m]\cdot x[n-m]\end{array}$

ここで 信号 $x[n]$は $n=1,\dots ,N_x$、フィルタ $h[m]$は $m=0,\dots ,M-1$ 以外で0、また$M<N_x$である。

重畳加算法の基本アイデアは、長い信号 $𝐱$ を区間長$L$で区切り、複数の短い断片 ${𝐱}_k$ と フィルタ $𝐡$ に関する複数の畳み込みに分割して、テンプレート:TrnoteFFTの積として効率的に計算することにある。

$\begin{array}{cc}{x}_k[n]& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\{\begin{array}{cc}x[n+kL],& n=1,2,\dots ,L\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}\\ x[n]& =\sum _k{x}_k[n-kL],\\ \end{array}$

離散畳み込み$(𝐡*𝐱)[n]$は、各区間の畳み込みの総和で表せる:

$\begin{array}{cc}y[n]=(𝐡*𝐱)[n]& =\sum _{m=0}^{M-1}(h[m]\cdot \sum _k{x}_k[n-m-kL])\\ & =\sum _k(𝐡*{𝐱}_k)[n-kL]\\ \end{array}$

ここで各区間の畳み込み $y_k[n]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(𝐡*{𝐱}_k)[n]$は 領域 [1, L+M-1] 以外で 0 であり、任意の $N\ge (L+M-1)$ に関し、領域 [1, N] における ${𝐱}_k$ と $𝐡$ の $N$点巡回畳み込みと等価である。

重畳加算法のアドバンテージは、この巡回畳み込みが畳み込み定理により、次のような FFTの積の逆FFT として効率的に計算できる事にある:

ここで $\text{FFT}$と$\text{IFFT}$は(ブロック長$N$の)高速フーリエ変換と逆高速フーリエ変換である。 FFTアルゴリズムによっては、(巡回畳み込み計算のために)FFTブロック長$N$を調整する事が理に適っている。例えばCooley-Tukey型FFTアルゴリズム (radix-2アルゴリズム) を使う場合、2の冪乗のブロック長を選ぶと有利である:

$N=L+M-1=2^p,p\in \mathbb{N}$

アルゴリズム

図1: 重畳加算法

図1に、重畳加算法のアイデアを示す。

1. 信号$𝐱$ (長さNx) を区間長$L$で区切り、オーバーラップの無いk個の断片の列${𝐱}_k$を得る。
2. 各区間について、断片 ${𝐱}_k$ (長さ≦L) と フィルタ $𝐡$ (長さM) のFFT結果の積をとり逆FFTして、区間毎の畳み込み結果 ${𝐲}_k$ (長さ≦L+M-1) を得る。
   (なお畳み込み結果は、元信号(区間長L)と比べ (フィルタの長さ-1) だけ長くなり、オーバーラップが生じる)
3. 最終的な出力信号は、図に示すように、各区間の結果${𝐲}_k$ のオーバーラップ(重畳)部を加算しながら連結して得られる。

区間長$L$は、FFT開発初期にはしばしば効率上の理由でFFTのブロック長$N$が2の冪乗をとるよう調整されたが、更なる研究開発の結果、Nを大きな素数で素因数分解する効率的変換方法が明らかにされ、このパラメータに対する計算上の敏感さは低減された。テンプレート:Clarify (テンプレート:Trnote) アルゴリズムの疑似コードは以下の通り:

   アルゴリズム 1 (重畳加算法(OLA)による線形畳み込み)
   使用するFFTアルゴリズムに応じてFFTブロック長 N と 分割区間長 L に最適値を設定
   H = FFT(h,N)       (ゼロ・パディングしたFFT )
   i = 1
   while i <= Nx
       il = min(i+L-1,Nx)
       yt = IFFT( FFT(x(i:il),N) * H, N)
       k  = min(i+M-1,Nx)
       y(i:k) = y(i:k) + yt    (オーバーラップ区間を加算 )
       i = i+L
   end

巡回畳み込みへの応用

一般に信号$𝐱$が周期的でその周期が$N_x$の場合、畳み込み結果$y[n]$も周期的で同じ周期をとる。

1. 1周期分の$y[n]$は、ちょうど1周期分の信号 $x[n]$ (長さNx) と フィルタ$h[n]$ (長さM) の畳み込みで得られる。ここでは前述のアルゴリズム 1を使う。
   畳み込み結果$y[n]$は、区間 [M, Nx] で正しい。
2. 先頭のM-1個(区間[1, M-1])の値に、末尾のM-1個(区間[Nx+1, Nx+M-1])の値を加算すれば、区間 [1, Nx] が正しい畳み込み結果を表すようになる。

変更した疑似コードは以下の通り:テンプレート:Vn

   アルゴリズム 2 (重畳加算法(OLA)による巡回畳み込み)
   アルゴリズム 1 を評価
   y(1:M-1) = y(1:M-1) + y(Nx+1:Nx+M-1)
   y = y(1:Nx)
   end

  【参考】英語版記事初版のアルゴリズム 2
   (アルゴリズム 1 の必要範囲を引用 )
       使用するFFTアルゴリズムに応じてFFTブロック長 N と 分割区間長 L に最適値を設定
       H = FFT(h,N)       (ゼロ・パディングしたFFT )
   (ここまで引用 )
   ML = floor((N-1)/L)    (未使用 )
   i = Nx-L+1
   k = N - L
   while k >= 1
       il = i+L-1
       yt = IFFT( FFT(x(i:il,N)) * H )
       y(1:k) = y(1:k) + yt(N-k+1:N)
       k  = k-L
       i  = i-L
   end

計算量

畳み込みの計算コストは、操作に関わる複素数乗算の回数と関連付ける事ができる。主要な計算量はFFT演算によるもので、Radix-2アルゴリズム(テンプレート:Trnote)を長さ$N_x=N$の信号に適用する場合およそ $C=(N{\log }_{2}N)/2$回の複素数乗算が行われる。重畳加算法における複素数乗算の回数は、FFTとフィルタ乗算とIFFTを考慮して:

$C_{OA}=\lceil \frac{N_x}{N-M+1}\rceil N({\log }_{2}N+1)$テンプレート:Vn

なお巡回行列版の$M_L$セクション (テンプレート:Trnote) の追加コストは、通常とても小さいので単純化のために無視できる。

FFTのブロック長$N$の最適値は、${\log }_{2}M\le n\le {\log }_2{N}_x$の範囲で動かして$C_{OA}(N=2^n)$の最小値を整数$n$を(数値的に)探す事で得られる。$N$が2の冪乗であれば、FFTを効率的に計算できる。$N$の値が定まれば、信号$𝐱$を最適に区切る区間長$L=N-M+1$が定まる。 比較のため、普通の巡回畳み込みの計算量も示しておく:

$C_S=N_x({\log }_2{N}_x+1)$テンプレート:Vn

したがって重畳加算法の計算量はほぼ $O(N_x{\log }_{2}N)$でスケールし、他方、普通の巡回畳み込みの計算量はほぼ $O(N_x{\log }_2{N}_x)$である。(テンプレート:Trnote) しかしながら、この種の推計は複素数乗算の計算量だけ考慮しており、アルゴリズムに関わる他の処理は度外視している。各アルゴリズムに要する計算時間の直接測定こそ、より大きな関心事である。 図2に、テンプレート:EquationNoteによる標準的な巡回畳み込みテンプレート:Clarifyの計算時間と、アルゴリズム 2の形の重畳加算法による同様な畳み込みの計算時間の比を示す; 縦軸は信号長$N_x$の対数表示、横軸はフィルタ長$N_h=M$の対数表示で、計算時間の比を等高線で示している。両アルゴリズムはMatlabで実装した。青い太線は、重畳加算法の方が標準巡回畳み込みより速い(比>1)領域の境界線である。このケースでは重畳加算法は標準的手法より最大約3倍高速だった。テンプレート:Vn

図2: テンプレート:EquationNoteの計算時間と、重畳加算法アルゴリズム 2の計算時間の比; 縦軸は信号長$N_x$の対数表示、横軸はフィルタ長$N_h=M$の対数表示

関連項目

• テンプレート:仮リンク (Overlap-save method)

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book