1の補数

二進法において、ある数の1の補数を反数と見なせば、決まった桁数の二進数をそれぞれ非負の数と負の数に対応づけられる（#負の数の表現）。

1の補数表現はコンピュータの分野において、固定長の符号付きの整数型などの表現として利用されることがある。

負の数の表現

1の補数を用いて二進数を負の整数に対応づけられる。1の補数の定義より、テンプレート:Mvar 桁の二進数テンプレート:Mvar とその補数テンプレート:Math は以下の関係を満たす：

x + x_{c} = 2^{n} - 1 .

右辺のテンプレート:Math の倍数をテンプレート:Math と同一視すれば、上記の関係は以下のように解釈できる：

x + x_{c} \equiv 0 .

y - x \equiv y + x_{c} .

#負の数の表現節の方法で反数および減法が定義されているとする。更にテンプレート:Math からテンプレート:Math までの非負整数をそのまま通常の位取り記数法における二進表示、

0_{2}, 1_{2}, 10_{2}, \dots, \underset{n 桁}{\underset{⏟}{011 \dots 11}}_{2}

に対応づければ、これらの数の補数として負の整数に対する1の補数表現が得られる。

具体例として、テンプレート:Math 桁の二進数における対応表を以下に示す:

テンプレート:Math についての1の補数表現における、二進数と対応する整数の一覧
対応する整数	二進数	対応する整数	二進数
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math

結局、テンプレート:Mvar 桁の二進数のテンプレート:Math 桁目の値をテンプレート:Math とすれば、1の補数表現は以下のように表せる：

{b_{n - 1} b_{n - 2} \dots b_{1} b_{0}}_{(2)} \mapsto \sum_{k = 0}^{n - 2} b_{k} \cdot 2^{k} - b_{n - 1} \cdot (2^{n - 1} - 1) .

1の補数で表される数は、対応する二進数表示の最上位の値テンプレート:Math がテンプレート:Math なら負でない値を取り、テンプレート:Math なら正でない値を取る。

1の補数表現において、二進数をビット列とみなせば、符号の反転はビット列テンプレート:Mvar のビットを反転テンプレート:Efn2することによって行える。テンプレート:Mvar とそれをビット反転させたテンプレート:Math は常に以下を満たす：

x +^{f} x \equiv 0 .

上記より、テンプレート:Mvar の1の補数はテンプレート:Math と表せる。従って減法は、

y - x \equiv y +^{f} x

と書き換えられる。ビット反転が反数に対応することから、テンプレート:Math はテンプレート:Math とテンプレート:Math の2つの表現方法を持つ。