2の補数

テンプレート:読み仮名は、テンプレート:Math を位取り記数法の基数とした場合の基数の補数であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Efn2。すなわち、整数テンプレート:Mvar との和が基数テンプレート:Math の冪テンプレート:Math となる数テンプレート:Math2 のことをいうテンプレート:Efn2（例：テンプレート:Math2 について、テンプレート:Math に対応する2の補数はテンプレート:Math2）。

数テンプレート:Mvar とその2の補数テンプレート:Math を二進法で表せば、2の補数テンプレート:Math はテンプレート:Mvar との和がテンプレート:Math2 桁に繰り上がる最小の数といえる（例：テンプレート:Math2 についてテンプレート:Efn2、テンプレート:Math2 に対応する2の補数はテンプレート:Math2）。

2の補数を得る手順は、基数の補数および減基数の補数の定義から、1の補数にテンプレート:Math を足す操作となる。1の補数は二進表示された数の各位の値（ビット）をテンプレート:Math からテンプレート:Math、またテンプレート:Math からテンプレート:Math に置き換える操作（ビット反転）によって得られるため（例：テンプレート:Math2）、2の補数はしばしば元の数をビット反転して1を足したものとして定義される。

ある数の2の補数を反数と見なせば、二進法において決まった桁数を持った数をそれぞれ非負の数と負の数に対応づけられる（#負の数の表現）。特にテンプレート:Mvar 桁の二進数についてテンプレート:Math からテンプレート:Math（例：テンプレート:Math ならテンプレート:Math からテンプレート:Math）の範囲で符号なし表現と一致させたものはテンプレート:読み仮名またはテンプレート:読み仮名と呼ばれる（#2の補数表現）。

2の補数表現はコンピュータの分野において、固定長の符号付きの整数型や固定小数点数の表現に利用されている。

また2の補数表現は加算器で減算をするために使われる。

計算例

以下に#2の補数表現における計算例を示す。

補数であることの確認

例えば、4桁の二進数テンプレート:Math2 に対する2の補数はテンプレート:Math である。実際、これらを足し算は以下のようになる：

\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ + & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

結果はテンプレート:Math2 になっており、テンプレート:Math がテンプレート:Math のテンプレート:Math2 に対する補数になっていることが確かめられる。また5桁目以降を無視し下4桁だけ取り出せば、結果はテンプレート:Math となる。つまり、テンプレート:Math にその2の補数テンプレート:Math を足すということはテンプレート:Math からテンプレート:Math 自身を引くということと同じ意味を持つ。言い換えれば、テンプレート:Math2 は負数テンプレート:Math を表している。

引き算と補数の足し算の比較

例えば、二進数テンプレート:Math2 から二進数テンプレート:Math2 を引く場合、以下のように計算できる：

\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ - & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}

一方、二進数テンプレート:Math の2の補数テンプレート:Math を足す計算は、以下のようになる：

\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ + & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}

5桁目以降を無視し下4桁を取り出せば、こちらも結果はテンプレート:Math2 になり、引き算の場合と一致する。また、テンプレート:Math は負数テンプレート:Math を表していることが分かる。

算術オーバーフローの例

足し算の結果、算術オーバーフローが起きることがある。

例えば、二進数テンプレート:Math2 と二進数テンプレート:Math2 の足し算は以下のように計算できる：

\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ + & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

結果はテンプレート:Math2 となるが、これは2の補数表現において負の整数テンプレート:Math に対応し、通常の足し算で期待される結果テンプレート:Math2 と一致しない。

同様に、二進数テンプレート:Math2 と二進数テンプレート:Math2 の足し算は期待する結果を与えない：

\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ + & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}

結果はテンプレート:Math2 となり、通常の足し算で期待される結果テンプレート:Math2 と一致しない。

負の数の表現

2の補数を用いて、二進法で表された数（二進数）を負の整数に対応づけられる。2の補数の定義より、テンプレート:Mvar 桁テンプレート:Efn2の二進数テンプレート:Mvar とその補数テンプレート:Math は以下の関係を満たすテンプレート:Sfn：

x + x_{c} = 2^{n} (⟺ x_{c} = 2^{n} - x) .

冪テンプレート:Math の倍数をテンプレート:Math と同一視すれば、上記の補数の関係はテンプレート:Math を法とする合同式に置き換えられるテンプレート:Sfn：

x + x_{c} \equiv 0 (\mod 2^{n}) .

これはテンプレート:Mvar の補数テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の反数テンプレート:Math と見なすことを意味する。すなわち、数テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar を引く操作は、数テンプレート:Mvar と補数テンプレート:Math のたし算に置き換えられるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn：

y - x \equiv y + 2^{n} - x \equiv y + x_{c} (\mod 2^{n}) .

同様に反数テンプレート:Math のかけ算は補数の積に置き換えられるテンプレート:Sfn：

y \cdot (- x) \equiv y \cdot 2^{n} + y \cdot (- x) \equiv y \cdot x_{c} (\mod 2^{n}) .

テンプレート:Vanc

#負の数の表現節の方法で負の数の計算を行えるが、具体的な数値計算を行うには、どの二進数（ビット列）がどの数値を表すかという対応関係を定義しなければならない。テンプレート:Math からテンプレート:Math までの非負整数をそのまま通常の位取り記数法における二進表示、

\begin{matrix} 0 & \mapsto 0_{2}, \\ 1 & \mapsto 1_{2}, \\ 2 & \mapsto 10_{2}, \\ ⋮ \\ 2^{n - 1} - 2 & \mapsto {011 \dots 10}_{2}, \\ 2^{n - 1} - 1 & \mapsto \underset{n 桁}{\underset{⏟}{011 \dots 11}}_{2} \end{matrix}

に対応づければ、これらの数の補数として負の整数に対する2の補数表現が得られる：

\begin{matrix} 2^{n - 1} & \equiv - 2^{n - 1} & \mapsto {100 \dots 00}_{2}, \\ 2^{n - 1} + 1 & \equiv 1 - 2^{n - 1} & \mapsto {100 \dots 01}_{2}, \\ ⋮ & ⋮ \\ 2^{n} - 2 & \equiv - 2 & \mapsto {111 \dots 10}_{2}, \\ 2^{n} - 1 & \equiv - 1 & \mapsto {111 \dots 11}_{2} . \end{matrix}

具体例として、テンプレート:Math 桁テンプレート:Efn2の二進数における対応表を示す：

テンプレート:Math についての2の補数表現における、二進数（ビット列）と対応する数値の一覧
対応する数値	二進数	対応する数値	二進数
テンプレート:Math	テンプレート:Math	-	-
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
-	-	テンプレート:Math	テンプレート:Math

結局、テンプレート:Mvar 桁の二進数のテンプレート:Math 桁目の値をテンプレート:Math とすれば、2の補数表現は以下のように表せるテンプレート:Sfn：

{b_{n - 1} b_{n - 2} \dots b_{1} b_{0}}_{(2)} \mapsto - b_{n - 1} \cdot 2^{n - 1} + \sum_{k = 0}^{n - 2} b_{k} \cdot 2^{k} .

最上位ビットテンプレート:Math はテンプレート:読み仮名と呼ばれ、数値の正負を決定する。すなわち、符号ビットがテンプレート:Math なら非負の数値を表し、テンプレート:Math なら負の数値を表す。

上記の数の補数は、以下のように表せる：

{({b_{n - 1} b_{n - 2} \dots b_{1} b_{0}}_{(2)})}_{c} \mapsto 1 - (1 - b_{n - 1}) \cdot 2^{n - 1} + \sum_{k = 0}^{n - 2} (1 - b_{k}) \cdot 2^{k} .

等比数列の和 $\sum_{k = 0}^{n - 2} 2^{k} = 2^{n - 1} - 1$ を用いれば、上記の補数は以下のようにも表せるテンプレート:Sfn：

{({b_{n - 1} b_{n - 2} \dots b_{1} b_{0}}_{(2)})}_{c} \mapsto b_{n - 1} \cdot 2^{n - 1} - \sum_{k = 0}^{n - 2} b_{k} \cdot 2^{k} .

これは結局、元の数に負符号を付けた形となっている（ただし元の数がテンプレート:Math の場合は算術オーバーフローが発生する。オーバーフローをチェックせずラップアラウンドする場合、テンプレート:Math 自身へ写るテンプレート:Efn2）。

2の補数表現の性質

符号なし整数との一致

2の補数表現は、符号ビットがテンプレート:Math なら符号なし整数表現（つまり通常の二進法）に一致するテンプレート:Sfn。この性質は符号・絶対値表現や1の補数表現も持っている。

最小値と最大値の非対称性

2の補数表現において、テンプレート:Mvar 桁（テンプレート:Mvar 個のビット）の二進数で表せる数値の範囲はテンプレート:Math2 からテンプレート:Math2 までであるテンプレート:Sfn（例：テンプレート:Math2 の場合、テンプレート:Math2 からテンプレート:Math2）。最小値と最大値の絶対値を比較すると、負の数の範囲は正の数の範囲に対してテンプレート:Math だけ大きく、非対称になっている。そのため、最小値の補数を求めようとすると算術オーバーフローが生じる（汎整数拡張によって型が格上げされる場合は除く）。この性質は符号・絶対値表現や1の補数表現にはなく、符号・絶対値表現および1の補数表現での数値の範囲はテンプレート:Math2 からテンプレート:Math2 までと対称的になっている。

偶奇性の判定

2の補数表現において、整数の偶奇性を判定するには最下位の桁（最下位ビット）が偶数か奇数かを判定すればよい。すなわち二進数表示の最下位の値テンプレート:Math がテンプレート:Math なら偶数でありテンプレート:Math なら奇数であることが示せるテンプレート:Sfn。同じ性質は符号・絶対値表現も持つが、1の補数表現においては最上位の桁（最上位ビット）の検査が必要であり、最上位ビットがテンプレート:Math なら最下位ビットがテンプレート:Math、最上位ビットがテンプレート:Math なら最下位ビットがテンプレート:Math の場合に偶数となる。

正負の判定

2の補数で表される数は、符号ビット（最上位ビット）テンプレート:Math がテンプレート:Math なら非負の値を取りテンプレート:Math なら負の値を取るテンプレート:Sfn。すなわち、負値か非負値かの判定は符号ビットのみから判別できる。符号・絶対値表現や1の補数表現ではゼロを表す二進数が一意でなく、符号ビットがテンプレート:Math のテンプレート:Math と符号ビットがテンプレート:Math のテンプレート:Math があるため、テンプレート:Math が許容される限り、これらの表現では符号ビットのみから負数か非負数かを判定できない。

1の補数との関係

2の補数表現において、テンプレート:Math は常にすべての位の値がテンプレート:Math の二進数テンプレート:Math に対応づけられる。従って、数をビット列とみなせば、ビット列テンプレート:Mvar とそのビットを反転テンプレート:Efn2させたビット列テンプレート:Math は常に以下を満たす：

x +^{f} x \equiv - 1 (\mod 2^{n}) .

上記より、テンプレート:Mvar の2の補数はテンプレート:Math と表せる。従って減法は、

y - x \equiv y +^{f} x + 1 (\mod 2^{n})

と書き換えられる。ビット反転はまた1の補数を得る操作でもある。

^{f} x \equiv - 1 - x \equiv (2^{n} - 1) - x (\mod 2^{n}) .

右辺のテンプレート:Math2 はテンプレート:Mvar に対する1の補数そのものであるから、ビット反転は1の補数を得る操作になっている。

元の数とのビットの一致

テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar 桁の二進数表示の下位テンプレート:Math2 桁目まで位の値がテンプレート:Math だった場合、2の補数テンプレート:Math2 を求める際、ビット反転した値が桁上りによって再び反転するため、下位テンプレート:Math2 テンプレート:Efn2桁まで元の数とその2の補数の値が一致する。また残りの上位テンプレート:Math2 桁は、ビット反転テンプレート:Math の上位テンプレート:Math2 桁に一致する。例えば、補数と元の数の位の値が一致する部分に下線を引けば、テンプレート:Math のビット反転はテンプレート:Math2 であり、2の補数はテンプレート:Math2 となる。同様に、テンプレート:Math およびテンプレート:Math のビット反転はそれぞれテンプレート:Math, テンプレート:Math であり、2の補数はそれぞれテンプレート:Math, テンプレート:Math となる（表も参照）。

テンプレート:Math についての2の補数表現における、補数と元の数との下位ビットの一致テンプレート:Efn2
元の数と一致する下位ビットの桁数（テンプレート:Mvar）	1	2	3	4	4
元の数（テンプレート:Mvar）	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
ビット反転（テンプレート:Math）	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
2の補数（テンプレート:Math）	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ

注釈

テンプレート:Notelist2

出典

テンプレート:Reflist

2の補数

目次

計算例

補数であることの確認

引き算と補数の足し算の比較

算術オーバーフローの例

負の数の表現

テンプレート:Vanc

2の補数表現の性質

符号なし整数との一致

最小値と最大値の非対称性

偶奇性の判定

正負の判定

1の補数との関係

元の数とのビットの一致

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目

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補数であることの確認

引き算と補数の足し算の比較

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符号なし整数との一致

最小値と最大値の非対称性

偶奇性の判定

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1の補数との関係

元の数とのビットの一致

脚注

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