エントロピー最大化モデル

テンプレート:混同 エントロピー最大化モデル（エントロピーさいだいかモデル、テンプレート:Lang-en）は、テンプレート:仮リンクにより導出された空間的相互作用モデルであるテンプレート:Sfn。このモデルではエントロピーの概念が使用されており、モデル式は統計力学的な方法で、パーソントリップを分子運動のように捉えて導かれたテンプレート:Sfn。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部が解消されたテンプレート:Sfn。

モデル式

発生―吸収制約モデル、発生制約モデル、吸収制約モデルの場合について、モデル式は以下のように表されるテンプレート:Sfn。

発生―吸収制約モデルの場合

テンプレート:NumBlk ただし$A_i=\frac{1}{\sum _{j=1}^n{B}_j{D}_j\exp (-\beta d_{ij})}$ $B_j=\frac{1}{\sum _{i=1}^m{A}_i{O}_i\exp (-\beta d_{ij})}$

発生制約モデルの場合

テンプレート:NumBlk ただし$A_i=\frac{1}{\sum _{j=1}^n{W_j}^{\gamma }\exp (-\beta d_{ij})}$

吸収制約モデルの場合

テンプレート:NumBlk ただし$B_j=\frac{1}{\sum _{i=1}^m{V_i}^{\alpha }\exp (-\beta d_{ij})}$

導出

発生―吸収制約モデルの場合の導出を以下に示す。

発地を$m$個、着地を$n$個、流動数の総和を$T$テンプレート:Efn、地域$i$から地域$j$への流動を$T_{ij}$とするテンプレート:Sfn。このときの流動パターンを考え、流動量が最多となる場合の発着地の組合せを把握したいテンプレート:Sfn。このときの制約条件は以下の通りである（ただし$C$は総移動費用）テンプレート:Sfn。 テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk

ここでは$T$を$T_{ij}$に分配する、場合の数$W(T_{ij})$の最大値の決定を行えばよいテンプレート:Sfn。このとき、 テンプレート:NumBlk が成立するテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。ここで、最大値の導出のために、式(テンプレート:EquationNote)の両辺を自然対数変換すると以下の式が得られるテンプレート:Sfn。 テンプレート:NumBlk ここで、スターリング近似により、$T$が十分に大きいとき$\ln T_{ij}!\approx T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij}$が成り立つため テンプレート:NumBlk が導かれるテンプレート:Sfn。よって、$\ln W(T_{ij})$の最大化を目標としていくテンプレート:Sfn。その際、ラグランジュの未定乗数法を用いるテンプレート:Sfn。${\lambda }_i$は式(テンプレート:EquationNote)、${\gamma }_j$は式(テンプレート:EquationNote)、$\beta$は式(テンプレート:EquationNote)のラグランジュ乗数とするとき、ラグランジュ関数$L$は テンプレート:NumBlk となるテンプレート:Sfn。ここで、$L$の最大値を与える$T_{ij}$は、偏微分方程式$\frac{\partial L}{\partial T_{ij}}=0$を解くことで求められるテンプレート:Sfn。よって、以下の式が成り立つテンプレート:Sfn。 テンプレート:NumBlk 式変形すると、以下の式が得られるテンプレート:Sfn。 テンプレート:NumBlk さらに式変形すると、以下の式が得られるテンプレート:Efn。 テンプレート:NumBlk が得られるテンプレート:Sfn。このとき、 テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk とおくと、式(テンプレート:EquationNote)は テンプレート:NumBlk と表示でき、発生―吸収制約モデルのときのエントロピー最大化空間的相互作用モデルが導かれたテンプレート:Sfn。

この他、発生制約モデルの場合は式(テンプレート:EquationNote)・式(テンプレート:EquationNote)を、吸収制約モデルの場合は式(テンプレート:EquationNote)・式(テンプレート:EquationNote)を、無制約モデルの場合は式(テンプレート:EquationNote)を制約条件として使用することで導出できるテンプレート:Sfn。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
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