ニュートン・コーツの公式

ニュートン・コーツの公式（ニュートン・コーツのこうしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、等間隔の点における被積分関数の値に基づく数値積分法の総称である。名前はアイザック・ニュートンとロジャー・コーツに由来する。

ニュートン・コーツの公式は、等間隔の点での被積分関数の値が与えられた場合に有用である。もし他の点での値も求められるならば、ガウス求積やテンプレート:仮リンクなどの他の方法の方が適している場合もある。

概要

ニュートン・コーツの公式は、端点を使う「閉じた」ものと、端点を使わない「開いた」ものの 2 種類に大別できる。

テンプレート:Mvar 次の閉じたニュートン・コーツの公式は次のようになる。

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{w}_{i}f(x_i)$

ここで $x_i=a+i\frac{b-a}{n}$ $(i=0,...,n)$ である。

テンプレート:Math は重みと呼ばれる。重みは以下のようにラグランジュ補間による補間多項式から導かれる。

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}L(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i(x))dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)\underset{w_i}{\underbrace{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i(x)dx}}$

また、以上の導出から重みは関数 テンプレート:Mvar によらず、テンプレート:Mvar のみによって決まることがわかる。

テンプレート:Mvar 次の開いたニュートン・コーツの公式の場合は、$x_i=a+(i+1)\frac{b-a}{n+2}$ $(i=0,...,n)$ とし、重みは閉じたものと同様である。

ニュートン・コーツの公式の一覧

閉じたニュートン・コーツの公式

次数	名前	式	誤差項
1	台形公式	$\frac{b-a}{2}(f_0+f_1)$	$-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{(2)}(\xi )$
2	シンプソンの公式	$\frac{b-a}{6}(f_0+4f_1+f_2)$	$-\frac{(b-a{)}^5}{2880}{f}^{(4)}(\xi )$
3	シンプソンの3/8公式	$\frac{b-a}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_3)$	$-\frac{(b-a{)}^5}{6480}{f}^{(4)}(\xi )$
4	テンプレート:仮リンク	$\frac{b-a}{90}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)$	$-\frac{(b-a{)}^7}{1935360}{f}^{(6)}(\xi )$

開いたニュートン・コーツの公式

次数	名前	式	誤差項
0	中点則	$(b-a)f_0$	$\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{(2)}(\xi )$
1	台形法	$\frac{b-a}{2}(f_0+f_1)$	$\frac{(b-a{)}^3}{36}{f}^{(2)}(\xi )$
2	ミルンの公式	$\frac{b-a}{3}(2f_0-f_1+2f_2)$	$\frac{7(b-a{)}^5}{23040}{f}^{(4)}(\xi )$
3		$\frac{b-a}{24}(11f_0+f_1+f_2+11f_3)$	$\frac{19(b-a{)}^5}{90000}{f}^{(4)}(\xi )$

ここで、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の略記である。

誤差項 テンプレート:Mvar は $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\sum _{i=0}^n{w}_{i}f(x_i)=E$ となる テンプレート:Math が存在することを意味する。 また、テンプレート:Mvar の導関数の次数は、それ未満の次数の多項式が正確に積分できる（即ち、誤差が 0 になる）ことを示している。なお、テンプレート:Math の次数と テンプレート:Mvar の導関数の階数は、1 つおきに 2 ずつ増加することに注意。

重みの計算

ニュートン・コーツの公式の重みは線形方程式系の解として求めることもできる。 これは補間多項式の一意性より テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 次以下の多項式の場合 テンプレート:Math となることに基づく。係数行列はファンデルモンド行列である。

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_0& x_1& \cdots & x_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_0^n& x_1^n& \cdots & x_n^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{w}_0\\ w_1\\ ⋮\\ w_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b-a\\ (b^2-a^2)/2\\ ⋮\\ (b^{n+1}-a^{n+1})/(n+1)\end{array}\right)$

高次における不安定性

ルンゲ関数 テンプレート:Math （赤）と等分点に基づく5次（青）と9次（緑）の補間多項式。高次多項式の方が端点付近での誤差は大きくなっている。

ニュートン・コーツの公式は、任意の次数で構築できる。しかし大きな次数 テンプレート:Mvar においてはルンゲ現象により誤差が テンプレート:Mvar の増加するにつれて指数関数的に大きくなる。そのため、通常は大きな次数ではガウス求積やテンプレート:仮リンクなどの非等分点法の方が、安定してより正確な値を求められる。もしもそれらの方法を使えないならば、合成積分公式を使うことでルンゲ現象を避けることができる。高次の公式には積分の重みの中に負のものが含まれるなどの不自然さが伴う（Gaussの積分公式の重みは常に正である）。

合成積分公式

ニュートン・コーツの公式の精度を良くするには、ステップ長 テンプレート:Math は小さくする必要がある。つまり、積分区間 テンプレート:Math 自体が小さくなければならない。このため、積分区間 テンプレート:Math を小さな部分区間に分割し、各部分区間ごとにニュートン・コーツの公式を使い、その結果を足し合わせるという方法が使われる。これは合成積分公式と呼ばれる。

関連項目

• 数値積分
• 内挿
• 台形公式
• シンプソンの公式
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• Newton–Cotes formulae on www.math-linux.com
• Newton–Cotes Formulae
• テンプレート:MathWorld
• Module for Newton–Cotes Integration, fullerton.edu
• Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com