ビネ・コーシーの恒等式

テンプレート:混同代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、テンプレート:Lang-en-short)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよびオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式^[1]

(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} d_{j}) = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} d_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} c_{j}) + \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) (c_{i} d_{j} - c_{j} d_{i})

(a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i} \in 𝕂 (i = 1, \dots, n))

のことである。ここで、 $𝕂$ は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。

テンプレート:Math2 かつテンプレート:Math2 とすれば、実数に対するテンプレート:仮リンクが得られる。これはユークリッド空間 $ℝ^{n}$ におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。

証明

右辺第2項を展開すると

\begin{matrix} \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) (c_{i} d_{j} - c_{j} d_{i}) \\ = \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} c_{i} b_{j} d_{j} + a_{j} c_{j} b_{i} d_{i}) + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i} b_{i} d_{i} - \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} d_{i} b_{j} c_{j} + a_{j} d_{j} b_{i} c_{i}) - \sum_{i = 1}^{n} a_{i} d_{i} b_{i} c_{i} \\ = (\sum_{1 \leq i < j \leq n} + \sum_{1 \leq j < i \leq n} + \sum_{1 \leq i = j \leq n}) a_{i} c_{i} b_{j} d_{j} - (\sum_{1 \leq i < j \leq n} + \sum_{1 \leq j < i \leq n} + \sum_{1 \leq i = j \leq n}) a_{i} d_{i} b_{j} c_{j} \\ = \sum_{\binom{1 \leq i \leq n}{1 \leq j \leq n}} a_{i} c_{i} b_{j} d_{j} - \sum_{\binom{1 \leq i \leq n}{1 \leq j \leq n}} a_{i} d_{i} b_{j} c_{j} \\ = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} d_{j}) - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} d_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} c_{j}) \end{matrix}

となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)

ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積

n = 3, $𝕂 = ℝ$ のとき

\begin{matrix} (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} d_{j}) - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} d_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} c_{j}) & = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) (c_{1} d_{2} - c_{2} d_{1}) \\ + (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) (c_{2} d_{3} - c_{3} d_{2}) \\ + (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) (c_{1} d_{3} - c_{3} d_{1}) \\ (𝒂 \cdot 𝒄) (𝒃 \cdot 𝒅) - (𝒂 \cdot 𝒅) (𝒃 \cdot 𝒄) & = (𝒂 \times 𝒃)_{3} (𝒄 \times 𝒅)_{3} \\ + (𝒂 \times 𝒃)_{1} (𝒄 \times 𝒅)_{1} \\ + (𝒂 \times 𝒃)_{2} (𝒄 \times 𝒅)_{2} \end{matrix}

すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式

(𝒂 \times 𝒃) \cdot (𝒄 \times 𝒅) = (𝒂 \cdot 𝒄) (𝒃 \cdot 𝒅) - (𝒂 \cdot 𝒅) (𝒃 \cdot 𝒄) (𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 \in ℝ^{3})

が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。）

この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば

\begin{matrix} {(𝒂 \times 𝒃) \times 𝒄} \cdot 𝒅 & = {(𝒂 \cdot 𝒄) 𝒃 - (𝒃 \cdot 𝒄) 𝒂} \cdot 𝒅 \\ ∴ (𝒂 \times 𝒃) \times 𝒄 & = (𝒂 \cdot 𝒄) 𝒃 - (𝒃 \cdot 𝒄) 𝒂 \end{matrix}

とベクトル三重積の公式が得られる。

また、テンプレート:Math2 とおくと、

‖ 𝒂 \times 𝒃 ‖^{2} = ‖ 𝒂 ‖^{2} ‖ 𝒃 ‖^{2} - (𝒂 \cdot 𝒃)^{2} (𝒂, 𝒃 \in ℝ^{3})

と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。

一般化

以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である：

テンプレート:Mvar を自然数とし、集合テンプレート:Math2 をテンプレート:Math と表記する。テンプレート:Mvar を非負整数として、テンプレート:Mvar をテンプレート:Math2 行列、テンプレート:Mvar をテンプレート:Math2行列とする。テンプレート:Mvar をテンプレート:Math2 からテンプレート:Mvar 個を選んだ部分集合とし、テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar個の列からテンプレート:Mvar に含まれる添字の列を取り出して得られたテンプレート:Math2行列、テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar個の行からテンプレート:Mvar に含まれる添字の行を取り出して得られたテンプレート:Math2行列とする。
テンプレート:Math2行列である積テンプレート:Mvar の行列式は

$det (A B) = \sum_{\binom{S \subset [n]}{| S | = m}} det (A_{S}) det (B^{S})$

となる。ただし、和において、テンプレート:Mvar は、テンプレート:Math の部分集合で要素数がテンプレート:Mvar のものすべてを取るとする。

特別な場合として、テンプレート:Math2 として

A = (\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{n} \\ b_{1} & \dots & b_{n} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} c_{1} & d_{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n} & d_{n} \end{matrix})

を適用すれば

| \begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i} & \sum_{i = 1}^{n} a_{i} d_{i} \\ \sum_{i = 1}^{n} b_{i} c_{i} & \sum_{i = 1}^{n} b_{i} d_{i} \end{matrix} | = \sum_{1 \leq i < j \leq n} | \begin{matrix} a_{i} & a_{j} \\ b_{i} & b_{j} \end{matrix} | | \begin{matrix} c_{i} & d_{i} \\ c_{j} & d_{j} \end{matrix} |

となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。

脚注

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参考文献

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外部リンク

↑ テンプレート:Cite book

[Weisstein-1] テンプレート:Cite book

[1]

ビネ・コーシーの恒等式

目次

証明

ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積

一般化

脚注

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