ファン・スコーテンの定理

ファン・スコーテンの定理（ファン・スコーテンのていり、テンプレート:Lang-en）とはオランダの数学者、テンプレート:仮リンクに由来して名づけられた、正三角形に関する定理である。

正三角形 $△ A B C$ とその外接円上の点 $P$ について $P A, P B, P C$ のうち最も長いものの長さは、他二つの長さの和と等しい。

この定理はトレミーの定理の系である。 $a$ を正三角形 $△ A B C$ の辺の長さ、 $P A$ を $P A, P B, P C$ のうち最も長い辺とすれば、トレミーの定理によって以下の様に書くことができる。

\begin{matrix} | B C | \cdot | P A | = | A C | \cdot | P B | + | A B | \cdot | P C | \\ ⟺ & a \cdot | P A | = a \cdot | P B | + a \cdot | P C | \end{matrix}

一般化

正2n+1角形 $A_{1} A_{2} ... A_{2 n + 1}$ の外接円の弧 $\hat{A_{1} A_{2 n + 1}}$ 上の点 $P$ について、

$\sum_{k = 0}^{n} | A_{2 k + 1} P | = \sum_{k = 1}^{n} | A_{2 k} P |$

が成立する^[1]。

正五角形 $A B C D E$ の外接円の弧 $\hat{A E}$ 上の点 $P$ について、

$| A P | + | C P | + | E P | = | B P | + | D P |$

が成立する^[2]^[3]^[4]。

Bui Quang Tuanによる一般化を紹介する。テンプレート:Mathとその外接円上の点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの距離をそれぞれテンプレート:Mvarとすれば、テンプレート:Mvarのうち、最も長いものの長さは、そのほかの2つの長さの和と等しい^[5]。さらに、円内接多角形テンプレート:Mathについて、その外接円の弧テンプレート:Math上の点テンプレート:Mvarを作る。このとき、テンプレート:Mvarと辺テンプレート:Mvarの距離をテンプレート:Mvarとすれば、

\frac{X_{1} X_{2}}{d_{1}} = \sum_{i = 2}^{n} \frac{X_{i} X_{i + 1}}{d_{i}}

が成立する（テンプレート:Mathとする）。

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, テンプレート:ISBN2, pp. 102–103
Doug French: Teaching and Learning Geometry. Bloomsbury Publishing, 2004, テンプレート:ISBN2 , pp. 62–64
Raymond Viglione: Proof Without Words: van Schooten′s Theorem. Mathematics Magazine, Vol. 89, No. 2 (April 2016), p. 132
Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117