マクスウェルの関係式

テンプレート:混同 テンプレート:Expand English {{#invoke:Sidebar |collapsible | bodyclass = plainlist skin-invert-image | titlestyle = padding-bottom:0.3em;border-bottom:1px solid #aaa; | title = 熱力学 | imagestyle = display:block;margin:0.3em 0 0.4em; | image = | caption = 古典的テンプレート:仮リンク | listtitlestyle = background:#ddf,;text-align:center;color: light-dark(black,white); | width = 256px | expanded =

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注: 斜体はテンプレート:仮リンクを示す。

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| list5name = material | list5title = テンプレート:仮リンク | list5 =

比熱容量	$c=$	$T$ $\partial S$ $N$ $\partial T$
圧縮率	$\beta =-$	$1$ $\partial V$ $V$ $\partial p$
熱膨張	$\alpha =$	$1$ $\partial V$ $V$ $\partial T$

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• カルノーの定理
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}} マクスウェルの関係式（マクスウェルのかんけいしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、熱力学における温度、圧力、エントロピー、体積という4つの状態量の間に成り立つ関係式。ジェームズ・クラーク・マクスウェルによって導出された。これらの関係式によって、測定が困難なエントロピーの変化量を、圧力、温度、体積の変化という、測定がより簡単な量で置き換えることができる 。

関係式

化学ポテンシャルを無視するものとして、次の4つの関係式が成立する。

これをマクスウェルの関係式と呼ぶ。

${\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_S=-{\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)}_V$

${\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)}_S={\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)}_P$

${\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T={\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V$

${\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)}_T=-{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P$

ここで、テンプレート:Mvar :圧力、テンプレート:Mvar :体積、テンプレート:Mvar :温度、テンプレート:Mvar :エントロピーである。

ヤコビアン

ヤコビアンを用いると、これら4式をまとめて

$\frac{\partial (T,S)}{\partial (P,V)}=1$

と表すことができる。

導出

マクスウェルの関係式は、内部エネルギー U、ヘルムホルツエネルギー F、ギブズエネルギー G、エンタルピー H の4つの熱力学ポテンシャルにおいて、2階偏導関数が連続で偏微分の順序が交換できるとすれば導かれる。実際、内部エネルギーに対する偏微分

$\frac{\partial }{\partial V}\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)=\frac{\partial }{\partial S}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)$

において、関係式

${\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)}_V=T,{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_S=-P$

に注意すれば、第一式を得る。他の三つの導出についても同様である。

関連項目

• 熱力学