半直積

群論において、群の半直積（はんちょくせき、テンプレート:Lang-en-short）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。

定義

内部半直積

ふたつの群テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar による内部半直積とは、次の性質を満たす群テンプレート:Mvar のことで、テンプレート:Math と表すテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar は群テンプレート:Mvar の正規部分群かつテンプレート:Mvar は群テンプレート:Mvar の部分群であって、テンプレート:Math を満たす
テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar は自明な共通部分をもつ：テンプレート:Math

テンプレート:Mvar を群とし、テンプレート:Mvar をその部分群、テンプレート:Mvar を正規部分群 (テンプレート:Math) とすると、以下は同値である。

G = NH かつ N ∩ H = 1.
G のすべての元は積 nh (n ∈ N, h ∈ H) として一意的に書ける。
G のすべての元は積 hn (h ∈ H, n ∈ N) として一意的に書ける。
自然な埋め込みテンプレート:Nowrap を自然な射影テンプレート:Nowrap と合成すると、H と商群テンプレート:Nowrap の間の同型写像となる。
H 上恒等写像で核が N の群準同型テンプレート:Nowrap が存在する。

外部半直積

2つの群テンプレート:Math とテンプレート:Math（与えられた群の部分群である必要はない）と群準同型テンプレート:Math が与えられると、次のように定義される、テンプレート:Math に関するテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の（外部）半直積と呼ばれる新しい群 $N ⋊_{φ} H$ を構成することができる^[1]テンプレート:Sfn。

集合としては、 $N ⋊_{φ} H$ はデカルト積テンプレート:Math である。
$N ⋊_{φ} H$ の元の乗法は、準同型 $φ$ によって決定される。演算はテンプレート:Math とテンプレート:Math に対して

(n_{1}, h_{1}) * (n_{2}, h_{2}) = (n_{1} φ_{h_{1}} (n_{2}), h_{1} h_{2})

によって定義される

* : (N \times H) \times (N \times H) \to N ⋊_{φ} H

である。

これは群を定め、単位元はテンプレート:Math で、テンプレート:Math の逆元はテンプレート:Math である。対テンプレート:Math 全体はテンプレート:Math と同型な正規部分群をなし、対テンプレート:Math 全体はテンプレート:Math に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。

逆に、群テンプレート:Mvar と正規部分群テンプレート:Math と部分群テンプレート:Math が与えられていて、テンプレート:Mvar のすべての元テンプレート:Math が一意的にテンプレート:Math, ただしテンプレート:Math, テンプレート:Math, の形に書けるとしよう。テンプレート:Math をテンプレート:Math、ただしすべてのテンプレート:Math に対して

φ_{h} (n) = h n h^{- 1},

によって与えられる準同型とする。するとテンプレート:Math は半直積 $N ⋊_{φ} H$ に同型である。同型写像は積テンプレート:Math を対テンプレート:Math に送る。テンプレート:Math において次が成り立ち

(n_{1} h_{1}) (n_{2} h_{2}) = n_{1} h_{1} n_{2} h_{1}^{- 1} h_{1} h_{2} = (n_{1} φ_{h_{1}} (n_{2})) (h_{1} h_{2})

これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた $N ⋊_{φ} H$ の乗法の規則の定義の説明もしている。

直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、テンプレート:Math を自明な準同型、すなわちテンプレート:Mvar のすべての元をテンプレート:Mvar の恒等自己同型に送るものとしよう。すると $N ⋊_{φ} H$ は直積 $N \times H$ である。

ホモロジー代数的定義

群テンプレート:Mvar の群テンプレート:Mvar による半直積とは、分裂する短完全列

1 \to N \to G \to H \to 1

を持つような群テンプレート:Mvar のことであるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ここで、短完全列が分裂するとは切断テンプレート:Math が存在することである。（つまり半直積テンプレート:Mvar とは群テンプレート:Mvar の群テンプレート:Mvar による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。）

導入

定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群をあげることができる。テンプレート:Mvar 次元アフィン変換

(A, b) : ℝ^{n} \to ℝ^{n}; (A, b) x = A x + b

はテンプレート:Mvar 次元一般線型変換 $A \in 𝐺 𝐿 (n, ℝ)$ とテンプレート:Mvar次元の並進変換 $b \in ℝ^{n}$ を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを $Aff (ℝ^{n})$ で表し、テンプレート:Mvar 次元アフィン変換群と呼ぶ。2つのアフィン変換 $(A_{1}, b_{1})$ と $(A_{2}, b_{2})$ の合成変換を考えると、

(A_{1}, b_{1}) (A_{2}, b_{2}) x = (A_{1}, b_{1}) (A_{2} x + b_{2}) = A_{1} A_{2} x + A_{1} b_{2} + b_{1}

である。従って、アフィン変換群 $Aff (ℝ^{n})$ の群演算は、

(A_{1}, b_{1}) (A_{2}, b_{2}) = (A_{1} A_{2}, A_{1} b_{2} + b_{1})

となり、 $𝐺 𝐿 (n, ℝ)$ と $ℝ^{n}$ の単純な直積群ではないことが分かる。しかし $𝐺 𝐿 (n, ℝ)$ と $ℝ^{n}$ は共に $Aff (ℝ^{n})$ の部分群を成し、とくに $ℝ^{n}$ は正規部分群になる。このような関係をさらに一般化したものが半直積である^[2]。

例

直積

直積群は半直積群でもある。

二面体群

位数テンプレート:Math の二面体群テンプレート:Math は位数テンプレート:Mvar の巡回的正規部分群テンプレート:Math の位数テンプレート:Math の巡回群テンプレート:Math による半直積であるテンプレート:Sfn。

D_{2 n} = ⟨ r, s ∣ r^{n} = s^{2} = 1, s^{- 1} r s = r^{- 1} ⟩

C_{n} : = ⟨ r ⟩, C_{2} : = ⟨ s ⟩, D_{2 n} = C_{n} ⋊ C_{2}

標準ボレル部分群

一般線型群の上三角行列からなる部分群テンプレート:Mvar を取る。テンプレート:Mvar を対角成分がすべてテンプレート:Math からなる群テンプレート:Mvar の部分群とし、テンプレート:Mvar を対角行列からなる群テンプレート:Mvar の部分群とする。このとき次が成り立つテンプレート:Sfn。

B = U ⋊ T

アフィン変換群

正則アフィン変換からなる群テンプレート:Math も半直積の例である。

運動群

テンプレート:Mvar 次元ユークリッド空間の運動群テンプレート:Math は並進部分群テンプレート:Math と直交群テンプレート:Math の半直積テンプレート:Math である。

半直積で表せない例

位数テンプレート:Math の四元数群テンプレート:Math は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできないテンプレート:Sfn。

性質

位数

位数はそれぞれの積である。

| N ⋊ H | = | N | | H |

埋め込み

もとの群は半直積群に埋め込まれる。つまり、ふたつの単射準同型写像テンプレート:Math とテンプレート:Math がある。さらにテンプレート:Mvar の単射準同型像はテンプレート:Math の正規部分群で、その剰余群はテンプレート:Mvar と同型である。

異なる作用における同型

一般に、ふたつの異なる群作用テンプレート:Math が非同型な半直積群を定めるとは限らないテンプレート:Sfn。もしテンプレート:Mvar が巡回群で作用テンプレート:Math が単射かつテンプレート:Math を満たすならばテンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。

脚注

テンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:Cite book

テンプレート:Cite book
R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006. ISBN 1-4196-2722-8

↑ テンプレート:Cite book
↑ 小林俊夫・大島利雄　『Lie群とLie環 1』、岩波書店、1999年、pp6-8。

[1] テンプレート:Cite book

[Kobayashi,Oshima_1999-2] 小林俊夫・大島利雄　『Lie群とLie環 1』、岩波書店、1999年、pp6-8。

[1]

[2]

半直積

目次

定義

内部半直積

外部半直積

ホモロジー代数的定義

導入

例

直積

二面体群

標準ボレル部分群

アフィン変換群

運動群

半直積で表せない例

性質

位数

埋め込み

異なる作用における同型

関連項目

脚注

参考文献

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半直積

定義

内部半直積

外部半直積

ホモロジー代数的定義

導入

例

直積

二面体群

標準ボレル部分群

アフィン変換群

運動群

半直積で表せない例

性質

位数

埋め込み

異なる作用における同型

関連項目

脚注

参考文献

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