終域

テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像 テンプレート:Mvar: テンプレート:Mvar の内側の小さいマルが テンプレート:Mvar の値域で、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の終域。

数学において写像の終域（しゅういき、テンプレート:Lang-en-short; 余域）あるいは終集合（しゅうしゅうごう、テンプレート:Lang-en-short）は、写像を テンプレート:Math と表すときの集合 テンプレート:Mvar、すなわち写像 テンプレート:Mvar の出力する値がその中に属するべきという制約を定める集合をいう。終域の代わりに「値域」という語を用いる場合もあるが、値域は写像の像（出力される値すべてからなる集合、テンプレート:Math で言えば テンプレート:Math）の意味で用いることが多いので注意すべきである。

定義と注意

写像（函数）を テンプレート:Harvtxt の意味で定義するのであれば、終域は写像 テンプレート:Mvar の構成要素として含まれる。写像 テンプレート:Mvar とは三つ組 テンプレート:Math であって テンプレート:Mvar が直積集合 テンプレート:Math の函数的部分集合（すなわち函数関係）かつ テンプレート:Mvar に属する順序対の第一成分の成す集合（すなわち定義域）が テンプレート:Mvar に一致するものをいう。このとき集合 テンプレート:Mvar はこの写像のグラフと呼ばれ、またこの定義における集合 テンプレート:Mvar を終域という。テンプレート:Mvar が写像 テンプレート:Mvar の定義域 テンプレート:Mvar の元を亙るとき、テンプレート:Math の形に書ける元全てからなる集合を テンプレート:Mvar の値域と呼ぶ。一般に値域は終域の部分集合であって、従って一般には両者は一致しないことが起こり得る。一致する場合（すなわち全射）でないならば、終域に属する適当な元 テンプレート:Mvar に対して、方程式 テンプレート:Math は解を持たない。

ブルバキはまた別な定義として、「写像」を単に函数的グラフそのものと定め、これはまた広く用いられている定義であるが、これには終域が定義として含まれない。例えば集合論において、定義域 テンプレート:Mvar が真の類であることを許す方が望ましいという場合には、三つ組 テンプレート:Math といったものは厳密な意味では存在しないため定義に用いるには不適当だが、グラフによる定義ならば自然である。ただ、文献によっては テンプレート:Math という見かけ上終域に言及する形で写像を導入していながら、その後は暗黙にこの終域を含めない定義を用いる場合もあるので注意が必要である。

値域と終域

例 1

函数

$f:ℝ\to ℝ$

を「元の対応」

$f:x\mapsto x^2(\text{i.e. }f(x):=x^2)$

によって定義するとき、テンプレート:Mvar の終域は テンプレート:Math だが、テンプレート:Mvar は任意の負の数に写る元を持たない。然るに テンプレート:Mvar の値域は非負の数全体 テンプレート:Math（テンプレート:Math, 無限半開区間 テンプレート:Math などとも書く）である。

別な函数 テンプレート:Mvar を

$g:ℝ\to {ℝ}_0^{+};x\mapsto x^2$

と定める。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は与えられた テンプレート:Mvar をまったく同じ数に写すけれども、終域を重視する立場では、終域が異なるから同じ函数とは考えない。このことが意味のある区別であることを見るために、もう一つ函数 テンプレート:Mvar を

$h:x\mapsto \sqrt{x}$

導入する。テンプレート:Mvar が定義されるためには定義域が テンプレート:Math （に含まれる）でなければならないから、

$h:{ℝ}_0^{+}\to ℝ$

で考えるものとして、写像の合成 テンプレート:Math および テンプレート:Math を比較しよう。

このとき テンプレート:Mvar の値域はほかで特に言及するのでなければ（テンプレート:Math の部分集合であることだけが分かっているが）未知であるから、テンプレート:Math が有効であるかどうかも未知である。つまり、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar と合成するとき、テンプレート:Mvar が値を定義されていない引数（つまりテンプレート:仮リンク テンプレート:Mvar の定義域に属さない負の数）を テンプレート:Mvar から受け取る可能性がある。その意味で、写像の合成は合成の右側に来る写像の終域が左に来る写像の定義域に一致する場合のみ有効な概念である（つまり右側の写像の「値域」ではいけない、というのは写像ごとに値域がどうなるかは異なるし、それは合成するという話の段で未知ということが起こり得るから）ということができる。

終域は、写像が全射か否かということにも関係する。つまり写像が全射であるための必要十分条件はその終域と値域が一致することである。先の例で言えば テンプレート:Mvar は全射であり テンプレート:Mvar はそうでない。一方、写像が単射か否かには終域は何も関係しない。

例 2

値域と終域との違いを見るもう一つの例として、線型空間の間の線型写像を考えよう。特に テンプレート:Math からそれ自身への任意の線型変換を考えれば、それは実数を成分とする テンプレート:Math 正方行列によって表すことができる。そのような行列はどれも 定義域が テンプレート:Math で終域が テンプレート:Math であるような写像を表すのだけれども、値域は未知である。値域が終域に一致する変換（これはフルランクつまり[[行列の階数|階数 テンプレート:Math]]の場合）もあれば、そうでなくより小さい線型部分空間に写る場合（階数 テンプレート:Math や テンプレート:Math の行列）もある。例えば行列 テンプレート:Mvar が

$T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$

で与えられるものとすると、これは点 テンプレート:Math を テンプレート:Math へ写す線型変換を表す。点 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の値域には属さないが、終域には属する（いまは明示的に テンプレート:Math から テンプレート:Math への線型変換を考えている。すべての テンプレート:Math-行列がそうであるように、テンプレート:Mvar もそのような線型変換を表している）。

値域と終域が異なるということが、しばしば考えている写像の性質を発見するのに有効となり得る。例えば、先の テンプレート:Mvar は終域よりも真に小さい値域を持つから、フルランクではない。

関連項目

• 値域
• 定義域
• 全射
• 単射
• 全単射

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation