多項係数

パスカルの三角錐を5段目まで描いたもの。側面（橙色の格子）は何れもパスカルの三角形になっている。矢印は、1つ上の段から和を取ることを表している。

数学における多項係数（たこうけいすう、テンプレート:Lang-en-short）は二項係数を一般化したものである。

定義

非負整数列 テンプレート:Math2 および テンプレート:Math2 に対して、多項係数が定義される。

多項係数を直接表示すると

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_r}):=\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!}$

となる。ここに テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の階乗を表す。

多項係数は帰納的に表すこともできる：

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,\cdots ,k_r}):=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k_1-1,k_2,\cdots ,k_r})+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k_1,\cdots ,k_{r-1},k_r-1})$

多項係数は整数となる。したがって、多項係数を規則的に並べていくと テンプレート:Mvar-単体となる（パスカルの単体。テンプレート:Math2 のときについてはテンプレート:仮リンクを参照）。

多項係数は二項係数を用いて

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k_1+k_2+\cdots +k_r}{k_r})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k_1+k_2+\cdots +k_{r-1}}{k_{r-1}})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{k_1}{k_1})=\prod _{i=1}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sum _{s=1}^i{k}_s}{k_i})$

と表すこともできる。

応用と解釈

多項定理

テンプレート:Main 二項定理の拡張である、多項定理と呼ばれる等式

$(x_1+\cdots +x_r{)}^n=\sum _{k_1+\cdots +k_r=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,\dots ,k_r})\cdot {x_1}^{k_1}\cdots {x_r}^{k_r}$

が成立する。特に テンプレート:Math2 と置くことにより

$r^n=\sum _{k_1+\cdots +k_r=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,\dots ,k_r})$

が得られる。

多項分布

多項係数の応用として、多項分布

$P(X_1=k_1,X_2=k_2,\dots ,X_r=k_r)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,\dots ,k_r})\cdot p_1^{k_1}\cdot {p_2}^{k_2}\cdots {p_r}^{k_r}$

は離散確率変数に関する確率分布である。

組合せ論的解釈

組み分け問題

多項係数 テンプレート:Math2 は テンプレート:Mvar 個の対象を テンプレート:Mvar 個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各 テンプレート:Mvar 番目の箱に テンプレート:Mvar 個だけの対象が含まれるように入れる方法の総数である。

重複置換の問題

多項係数 テンプレート:Math2 は、テンプレート:Math に対して各々ちょうど テンプレート:Mvar 個の区別不能な対象が含まれる テンプレート:Mvar 個の対象の置換の総数にも等しい。

例

問い. MISSISSIPPI の文字を並べ替えて得られる「語」は相異なるものが全部でいくつあるか？

この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が テンプレート:Math 個 (テンプレート:Math), 二種類目の文字 I が テンプレート:Math 個 (テンプレート:Math), 三種類目の文字 S が テンプレート:Math 個 (テンプレート:Math), 残りは P が テンプレート:Math 個 (テンプレート:Math) であるから、多項係数

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{1,4,4,2})=\frac{11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!}=34650$

が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数は テンプレート:Math とずっと多くなる。

パスカルの単体

二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、テンプレート:Mvar-変数の多項係数にも幾何学的な図形（単体）が対応し、[[パスカルの単体|パスカルの テンプレート:Mvar-単体]]と呼ばれる。テンプレート:Math のときは特に、テンプレート:仮リンクに対するテンプレート:仮リンクと呼ばれる。

外部リンク

• テンプレート:MathWorld