ペル数

テンプレート:混同テンプレート:Expand English ペル数（ぺるすう、Pell number）は自然数で、以下の漸化式で定義される数列にある項のことである。

$P_1=1,P_2=2$

$P_n=2P_{n-1}+P_{n-2}(n\ge 3)$

ペル数を1から小さい順に列記すると

1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, …テンプレート:OEIS

ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。

n番目のペル数は

$P_n=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n-(1-\sqrt{2}{)}^n}{2\sqrt{2}}$

という式で表される。$|1-\sqrt{2}|<1$ であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 P_n+1/P_n は白銀数 $1+\sqrt{2}$ に限りなく近付く。

行列では以下のように表現される。

$\left(\begin{array}{cc}{P}_{n+1}& P_n\\ P_n& P_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n$

ここから以下の恒等式が導かれる。

$P_{n+1}{P}_{n-1}-P_n^2=(-1{)}^n$

この式はペル数をフィボナッチ数に入れ替えても当てはまる。

$x^2-2y^2=\pm 1$　の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は

$\frac{P_{n-1}+P_n}{P_n}=\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\dots$　とだんだん√2の値に近付く。

ペル数の内累乗数は1と169のみである。

ペル数を使った以下の式で平方三角数を計算できる。

$((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k{)}^2=\frac{(P_{k-1}+P_k{)}^2\cdot ((P_{k-1}+P_k{)}^2-(-1{)}^k)}{2}.$

左辺は平方数、右辺は三角数を表している。

また以下の式で a²+b²=c² を満たすピタゴラス数を表すこともできる。

$(a,b,c)=(2P_n{P}_{n+1},P_{n+1}^2-P_n^2,P_{n+1}^2+P_n^2=P_{2n+1})$

関連項目

• フィボナッチ数
• 白銀比
• 平方三角数
• ピタゴラス数
• ペル方程式 - ジョン・ペル