一般線型群

テンプレート:Expand English 数学において、一般線型群（いっぱんせんけいぐん、テンプレート:Lang-en-short）とは線型空間上の自己同型写像のなす群のこと。あるいは基底を固定することで、正則行列のなす群のことを指すこともある。

定義

テンプレート:Mvar を体とする。 テンプレート:Mvar 線型空間 テンプレート:Mvar 上 の一般線型群とは テンプレート:Mvar 上の線型写像全体 テンプレート:Math のうち全単射 な写像全体が写像の合成に関してなす群のことをいい、テンプレート:Math または テンプレート:Math と表す。

あるいは テンプレート:Mvar 次元 テンプレート:Mvar 線型空間 テンプレート:Mvar の基底 テンプレート:Math = テンプレート:Math をひとつ選び固定して、数ベクトル空間 テンプレート:Math の元 テンプレート:Math と線型空間 テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Math とを同一視することによって、 テンプレート:Mvar 次正方行列全体 テンプレート:Math のうち正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群ということも多い。この場合には テンプレート:Math または テンプレート:Math と表す。行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい。

$\mathrm{GL}(V)=\{f\in \mathrm{End}(V)\mid \mathrm{\exists }g\in \mathrm{End}(V)f\circ g={\mathrm{id}}_V=g\circ f\}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{GL}}_n(F)& =\{A\in {\mathrm{M}}_n(F)\mid \mathrm{\exists }B\in {\mathrm{M}}_n(F)AB=I_n=BA\}\\ & =\{A\in {\mathrm{M}}_n(F)\mid \det A\ne 0\}\end{array}$

どちらの定義も同じ対象を定めていると思ってよい。実際、テンプレート:Mvar 次元 テンプレート:Mvar 線型空間 テンプレート:Mvar 上の一般線型群 テンプレート:Math と テンプレート:Mvar 次正則行列全体 テンプレート:Math との間には次で定まる同型写像がある。

$\mathrm{GL}(V)\to {\mathrm{GL}}_n(F),f\mapsto A=(a_{ij})$

$f(v_i)=\sum _{j=1}^n{a}_{ji}{v}_j$

例

テンプレート:Math

複素数体 テンプレート:Math 上の2次正則行列全体 テンプレート:Math は次のように表せる。

${\mathrm{GL}}_2(ℂ)=\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\in {\mathrm{M}}_2(ℂ)\mid ad-bc\ne 0\}$

テンプレート:Math

二元体 テンプレート:Math 上の テンプレート:Math 次正則行列全体 テンプレート:Math は テンプレート:Math 次対称群と同型で次の テンプレート:Math つの行列からなる。

${\mathrm{GL}}_2({𝔽}_2)=\{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\}$

性質

有限一般線型群の位数

[[有限体|テンプレート:Mvar元体]] テンプレート:Math 上の一般線型群 テンプレート:Math の位数は次のように表せるテンプレート:Sfn。

$|{\mathrm{GL}}_n({𝔽}_q)|=(q^n-1)(q^n-q)\cdots (q^n-q^{n-1})=q^{n(n-1)/2}\prod _{m=1}^n(q^m-1)$

特に、主対角成分がすべて テンプレート:Math の上あるいは下三角行列からなる部分群 テンプレート:Mvar は位数 テンプレート:Math なので有限体の位数 テンプレート:Mvar を割り切る素数 テンプレート:Mvar に関するSylow部分群であるテンプレート:Sfn。

Bruhat分解

一般線型群はBruhat分解されるテンプレート:Sfn。つまり テンプレート:Mvar をテンプレート:Ill2（上あるいは下三角行列からなる部分群）、テンプレート:Mvar をWeyl群（置換行列からなる部分群）としたとき一般線型群 テンプレート:Math は両側剰余類として

$G=BWB=\coprod _{w\in W}BwB$

と分解される。

BNペア

一般線型群はBNペアを持つテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar の対角行列からなる部分群 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における正規化群を テンプレート:Math とおけば、テンプレート:Mvar は単項行列からなる部分群で テンプレート:Math はBNペアをなす。

関連項目

• 特殊線型群
• 射影線型群
• ユニモジュラ行列

参考文献

• テンプレート:Cite book