スピン構造

テンプレート:翻訳直後 テンプレート:正確性 微分幾何学において、向き付け可能リーマン多様体 テンプレート:Math 上のスピン構造（スピンこうぞう、テンプレート:Lang-en-short）は、付随するテンプレート:仮リンクの定義を可能にし、微分幾何学におけるスピノルの概念を生じる。

数理物理学、特に場の量子論へ広く応用され、電荷を持たないフェルミオンに関する任意の理論の定義にスピン構造は必須である。純粋数学的にも、微分幾何学や代数的位相幾何学、K-理論などに於いてスピン構造は興味の対象である。スピン構造はテンプレート:仮リンクに対する基礎付けを成す。

導入

幾何学および場の理論において、与えられたリーマン多様体 テンプレート:Math がスピノルを持つことができるか否かは興味のある問題である。この問題を扱うための一つの方法が、テンプレート:Mvar がスピン構造を持つと仮定することであるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。しかし常にそのように仮定してよいわけではなく、スピン構造の存在に対する位相的な障害の可能性がある。スピン構造が存在するための必要十分条件は、テンプレート:Mvar の二次スティーフェル–ホイットニー類 テンプレート:Math が消えていることである。さらに言えば、テンプレート:Math ならば、テンプレート:Mvar 上のスピン構造の同型類全体の成す集合の上には テンプレート:Math が自由かつ推移的に作用する。多様体 テンプレート:Mvar は向き付けられていると仮定すれば、テンプレート:Mvar の一次スティーフェル–ホイットニー類 テンプレート:Math も消えている（多様体 テンプレート:Mvar の各スティーフェル–ホイットニー類 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar の接束 テンプレート:Mvar のスティーフェル–ホイットニー類として定義される）。

テンプレート:Mvar 上のスピノルの束 テンプレート:Math は、「テンプレート:Mvar のスピン標構 テンプレート:Math に対応する主束が付随する複素ベクトル束」であり、そしてまた、「その構造群がスピン群 テンプレート:Math であるような、スピノルの空間 テンプレート:Math を表現空間とするスピン表現」である。この束 テンプレート:Mvar を与えられた テンプレート:Mvar 上のスピン構造に対するテンプレート:仮リンクと呼ぶ。

多様体上のスピン構造の精確な定義は、ファイバー束の概念を導入して初めて可能である。テンプレート:Harvtxt は、向き付け可能なリーマン多様体上のスピン構造の存在に対する位相的な障害を発見し、テンプレート:Harvtxt はこの結果を、向き付け不能な擬リーマン多様体にまで拡張した。

リーマン多様体上のスピン構造

定義

向き付け可能なリーマン多様体 テンプレート:Math 上のスピン構造とは、向き付けられた直交標構束 テンプレート:Math → テンプレート:Mvar の、二重被覆 テンプレート:Math に関するテンプレート:仮リンク持ち上げを言う。すなわち、対 テンプレート:Math が主束 テンプレート:Math 上のスピン構造であるとは、テンプレート:Ordered list

が満たされるときに言う。この主束 テンプレート:Math を、テンプレート:Mvar 上のスピン標構束とも呼ぶ。

同じ一つの向き付けられたリーマン多様体 テンプレート:Math 上の、二つのスピン構造 テンプレート:Math が同値であるとは、テンプレート:Math-同変写像 テンプレート:Math が存在して、テンプレート:Math かつ任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math とできるときに言う。

もちろん、この場合の テンプレート:Math は、与えられたリーマン多様体 テンプレート:Math 上の向き付けられた正規直交標構 テンプレート:Math-束 テンプレート:Math の二つの同値な二重被覆である。

この「主束 テンプレート:Math 上のスピン構造」としての テンプレート:Math 上のスピン構造の定義は、テンプレート:Harvtxt による。

障害

テンプレート:Harvtxt は、向き付けられたリーマン多様体 テンプレート:Math 上のスピン構造の存在に対する必要十分条件を発見した。スピン構造を持つことに対する障害となるのは、テンプレート:Math のある種の元 テンプレート:Math である。スピン構造に対して、その類 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の二次のスティーフェル–ホイットニー類 テンプレート:Math である。従って、スピン構造が存在するための必要十分条件は、テンプレート:Mvar の二次スティーフェル–ホイットニー類 テンプレート:Math が消えていることである。

ベクトル束のスピン構造

テンプレート:Mvar をパラコンパクト位相多様体とし、テンプレート:Mvar 上の向き付けられた テンプレート:Mvar-次元ベクトル束 テンプレート:Mvar はテンプレート:仮リンクを持つとする（これは、テンプレート:Mvar の各点における テンプレート:Mvar のファイバーが内積空間であることという意味である）。テンプレート:Mvar のスピノル束は、テンプレート:Mvar の各点に対して一貫した仕方でスピン表現を付随させるための処方箋になる。スピン構造を持つことが可能となることへの位相的障害が存在し、その結果として、与えられた束 テンプレート:Mvar が如何なるスピノル束も持たないこともありうる。テンプレート:Mvar がスピン構造を持つ場合、束 テンプレート:Mvar はスピンである（スピン束）という。

このことは、主束を考えることによって厳密にすることができる。ベクトル束のテンプレート:仮リンク全体の成す集合はテンプレート:仮リンク テンプレート:Math を成す（これは特殊直交群 テンプレート:Math の作用の下での主束である）。テンプレート:Math に対するスピン構造とは、テンプレート:Math の（スピン群 テンプレート:Math の作用の下の）主束 テンプレート:Math への持ち上げである。これはつまり、束写像 テンプレート:Math が存在して、任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math が成り立つということを意味する。ここに、 テンプレート:Math はスピン群を テンプレート:Math の二重被覆として表わす群準同型である。

テンプレート:Mvar が底多様体 テンプレート:Mvar 上の接束 テンプレート:Mvar である特別の場合には、スピン構造が存在するとき テンプレート:Mvar をスピン多様体と呼ぶ。同じことだが、多様体 テンプレート:Mvar がスピンであるとは、テンプレート:Mvar の接ファイバーの正規直交基底のなす テンプレート:Math-主束が、主スピン束の テンプレート:Math-商であるときに言う。

多様体が胞体分割や三角分割を持つとき、スピン構造は等価的に、1-骨格上の接束を 2-骨格上に拡張したものの自明化 (trivialization) のホモトピー類として考えることができる。次元が 3 より低い場合には、まず自明直線束とのホイットニー和をとる。

障害

ベクトル束 テンプレート:Mvar 上のスピン構造が存在するための必要十分条件は、テンプレート:Mvar の二次スティーフェル–ホイットニー類 テンプレート:Math が消えていることである。これは テンプレート:Harvtxtの結果である。ここで、テンプレート:Math が向き付け可能ベクトル束と仮定したことに注意せよ。

分類

スピン構造が存在するとき、多様体上の互いに同値でないスピン構造の全体は、テンプレート:Math（これは、普遍係数定理により テンプレート:Math と同型）の元全体と（標準的でない）一対一対応を持つ。より精確に述べれば、スピン構造の同型類全体の成す空間は、テンプレート:Math 上のアフィン空間である。

直観的には、テンプレート:Mvar 上の各非自明サイクルに対して、スピン構造は SO(N)-束の切断がループを囲むとき被覆面を切り替えるか否かの二者択一に対応する。テンプレート:Math が消えているとき、これらの選択は二次元テンプレート:仮リンク (2-骨格) へ拡張でき、それゆえ（テンプレート:仮リンクにより）自動的に テンプレート:Mvar 全体の上まで拡張できる。素粒子物理学においてこのことは、各ループを周るフェルミオンに対する周期的または反周期的境界条件の選択に対応する。

素粒子物理学への応用

素粒子物理学におけるスピン統計定理は、電荷を帯びていないフェルミオンの波動函数が、テンプレート:仮リンクの切断の テンプレート:Math-束 テンプレート:Mvar へのスピン持ち上げであることを含意する。従って、スピン構造の選択は波動函数を定義するために必要なデータの一部であり、分配函数での選択を渡る和をとることにしばしば必要となる。多くの物理理論で テンプレート:Mvar は接束であるが、弦理論におけるD-ブレーンの世界体積上のフェルミオンに対してはテンプレート:仮リンクをとる。

例

1. 種数 テンプレート:Mvar のリーマン面は、同値でないスピン構造を テンプレート:Math 個持つ。テンプレート:仮リンクの項を参照。
2. テンプレート:Math が消えるならば テンプレート:Mvar はスピン多様体である。たとえば、テンプレート:Mvar は任意の テンプレート:Math に対してスピン多様体である。（実は テンプレート:Math もスピン多様体となるが、理由が異なる。後述）
3. 複素射影平面 テンプレート:Math はスピン多様体でない。
4. より一般に、すべての偶数次元複素射影空間 テンプレート:Math はスピン多様体でない。
5. すべての奇数次元複素射影空間 テンプレート:Math はスピン多様体である。
6. 三次元以下のすべてのコンパクトな向き付け可能多様体はスピン多様体である。
7. すべてのカラビ・ヤウ多様体はスピン多様体である。

性質

• スピン多様体のÂ 種数は整数であり、さらに次元が 4 mod 8 であれば偶数である。

  一般に、Â 種数は有理数不変量で、任意の多様体に対し定義されるが、一般に整数ではない。

  これはもともとヒルツェブルフとボレルにより証明されたもので、アティヤ–シンガーの指数定理によって証明することができ、Â 種数はテンプレート:仮リンク（ディラック作用素は二階作用素の平方根であり、スピン構造が「平方根」であるおかげで存在する）の指数として実現することができる。これは指数定理に対して動機付ける例であった。

スピンテンプレート:Sup-構造

スピン構造の類似物として、スピンテンプレート:Sup­構造は向き付けられたリーマン多様体上で定義されるが、用いる群がスピンテンプレート:Sup群、すなわち完全系列

$1\to {\mathbb{Z}}_2\to {\mathrm{Spin}}^{ℂ}(n)\to \mathrm{SO}(n)\times U(1)\to 1$

により定義される群 テンプレート:Math であるところが異なる。これを動機付けるために テンプレート:Math を複素スピノル表現と仮定する。テンプレート:Math の中心は、包含 テンプレート:Math からくる対角元（つまり恒等写像のスカラー倍）から成る。ゆえに、準同型

$\kappa \times i:\mathrm{Spin}(n)\times U(1)\to U(N)$

が存在して、この準同型の核は必ず元 テンプレート:Math を持ち、この元を法とする商をとると テンプレート:Math を得る。この群は、ねじれ積

${\mathrm{Spin}}^{ℂ}(n)=\mathrm{Spin}(n){\times }_{{\mathbb{Z}}_2}U(1)$

である（テンプレート:Math に注意せよ）。すなわち群 テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math による中心拡大である。

別な方法として、テンプレート:Math は テンプレート:Math の正規部分群 テンプレート:Math（これは、束 テンプレート:Math および テンプレート:Math のそれぞれに対する被覆変換の対で生成される）に関する商群である。これにより、スピンテンプレート:Sup群は テンプレート:Math をファイバーに持つ円周上の束とも、円をファイバーに持つ テンプレート:Math 上の束とも見ることができる。

基本群 テンプレート:Math は テンプレート:Math に同型である。

多様体が胞体分割や三角分割を持つならば、スピンテンプレート:Sup-構造を等価的に、2-テンプレート:仮リンク上の複素構造を 3-骨格に拡張したもののホモトピー類と考えることができる。スピン構造のときと同様に、多様体が奇数次元ならば、自明直線束とのホイットニー和を取る。

さらに別の定義は、多様体 テンプレート:Mvar 上のスピンテンプレート:Sup-構造とは、テンプレート:Mvar 上の複素直線束 テンプレート:Math と テンプレート:Math 上のスピン構造の対であるとするものである。

障害

スピンテンプレート:Sup­構造が存在するのは、束 テンプレート:Mvar が向き付け可能かつその束の二次スティーフェル–ホイットニー類が準同型 テンプレート:Math の像に属する（すなわち、三次の整係数スティーフェル–ホイットニー類が消えている）ときである。このとき、束 テンプレート:Mvar は「スピンテンプレート:Supである」（スピンテンプレート:Sup-束）という。直観的には、弧の持ち上げが、任意に得られたスピンテンプレート:Sup束の テンプレート:Math-成分のデカルト平方のチャーン類を与える。ホップとヒルツェブルフの定理により、向き付け可能な四次元閉多様体は、常にスピンテンプレート:Sup­構造を持つ。

分類

多様体がスピンテンプレート:Sup-構造を全く持つとき、スピンテンプレート:Sup­構造全体の成す集合は、アフィン空間を成す。さらに言えば、スピンテンプレート:Sup­構造の空間には、テンプレート:Math が自由かつ推移的に作用する。従って、スピンテンプレート:Sup­構造は（自然な方法ではないけれども）テンプレート:Math の元に対応する。

幾何学的な説明

これを以下のように幾何学的に解釈することができる（これはエドワード・ウィッテンによるものである）。スピンテンプレート:Sup-構造は 0 でないとき、この平方根束は非整係数チャーン類を持つ（これはテンプレート:仮リンクが成り立たないことを意味する）。特に、三種類ある任意の二つの交叉上の遷移函数の積は（主束となるのに必要な条件であるところの）恒等的に テンプレート:Math にならず、ところどころ テンプレート:Math となる。

この条件の不成立は、遷移函数の三重積に関して同じ条件の不成立によってテンプレート:仮リンクとなることが妨げられるのと、ちょうど同じ交叉において起きる。従って、完全 (full) スピンテンプレート:Sup-束の遷移函数の三重積（これは、スピン束の三重積と テンプレート:Mvar-成分束の三重積との積である）は、テンプレート:Math か テンプレート:Mathの何れかであり、それゆえこのスピンテンプレート:Sup-束はコサイクル条件を満たして、正当な束となる。

詳細

上記の直観的な幾何学的説明は以下のように具体的にすることができる。短完全列 テンプレート:Math を考える。ここに、二つ目の矢印は各整数を テンプレート:Math-倍する写像であり、三つ目の矢印は法 テンプレート:Math に関する還元である。これによって誘導されるコホモロジーの長完全列は

$\cdots \to H^2(M;𝐙)\stackrel{2}{\to }{H}^2(M;𝐙)\to H^2(M;{𝐙}_2)\stackrel{\beta }{\to }{H}^3(M;𝐙)\to \cdots$

なる部分を含む。二つ目の矢印は テンプレート:Math-倍写像の誘導する準同型であり、三つ目は法 テンプレート:Math に関する制限から誘導される準同型で、四つ目は付随するテンプレート:仮リンク テンプレート:Mvar である。

スピン束の存在に対する障害は テンプレート:Math のひとつの元 テンプレート:Math である。これは、テンプレート:Math-束のスピン束への局所持ち上げは常に可能だが、各遷移函数の テンプレート:Math-持ち上げの選択（それは符号を選ぶことである）が必要があるという事実を反映するものである。三重交叉上でこれら三つの符号の積が テンプレート:Math であるとき持ち上げは存在しない。これは テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクの様子を教えるものである。

この障害を打ち消すために、このスピン束と同じ障害 テンプレート:Math を持つ テンプレート:Math-束とのテンソル積束をとる。これが「束」の語の濫用であることに注意すべきである（スピン束も テンプレート:Math-束もコサイクル条件を満たさないので、どちらも実際には束でない）。

正当な テンプレート:Math-束はチャーン類により分類される（これは テンプレート:Math の元である）。この類を上記の完全系列の一項目の元と同一視すると、次の矢印はこのチャーン類を二倍するから、正当な束は二項目の テンプレート:Math の偶数である元と対応する。一方、奇数である元はコサイクル条件を満たさない束と対応する。よって、障害は二項目の テンプレート:Math が矢印の像のに属することが満足されないこと（これは完全性により、次の矢印による テンプレート:Math の像により分類される）によって分類される。

スピン束に関する対応する障害を打ち消すには、この像が テンプレート:Math である必要がある。特に、テンプレート:Math が矢印の像に属さなければ、障害が テンプレート:Math に等しい如何なる テンプレート:Math-束も存在せず、従って障害は打ち消されない。完全性により テンプレート:Math が直前の矢印の像に属するのは、次の矢印（これがボックシュタイン準同型 テンプレート:Mvar であることを思い出そう）の核に属するときに限る。すなわち、障害を打ち消すための条件は

$W_3=\beta w_2=0$

である。ここで、三次の整係数スティーフェル–ホイットニー類 テンプレート:Math は、二次スティーフェル–ホイットニー類 テンプレート:Math のボックシュタイン準同型像である（このことを Wテンプレート:Ind の定義として採用することもできる）という事実を用いた。

スティーフェル–ホイットニー類の整係数持ち上げ

この議論は、二次のスティーフェル–ホイットニー類は テンプレート:Math-係数コホモロジーの元ばかりでなく、ひとつ高次の整係数コホモロジーの元をも定義することを示している。実は、これは任意の偶数次スティーフェル–ホイットニー類に対して同じことが言える。そうして得られる奇数次の累に対して、慣習的に大文字の テンプレート:Mvar が用いられ、それぞれの次数（これは常に奇数）をラベルとして、整係数スティーフェル–ホイットニー類と呼ぶ。

素粒子物理学への応用

場の量子論において、電荷を帯びたスピノルは付随するスピンテンプレート:Sup-束の切断であり、また特に、電荷を帯びないスピノルはスピンテンプレート:Sup-構造を持たない空間の中には存在することができない。ある種の超重力理論においてこのことの例外が生じる（そこでは追加の相互作用が、他の場が三次のスティーフェル–ホイットニー類を打ち消す可能性を暗に含む）。

例

1. 四次元以下の任意の向き付けられた滑らかな多様体は、スピンテンプレート:Sup-多様体である。
2. 任意の概複素多様体はスピンテンプレート:Sup-多様体である。
3. 任意のスピン多様体はスピンテンプレート:Sup-多様体である。

ベクトル構造

スピン構造がベクトル束の随伴スピン束への持ち上げであるのに対して、ベクトル構造とは他の束の随伴ベクトル束への持ち上げを言う。

障害

たとえば、テンプレート:Math-束を考えると、群 テンプレート:Math は三つの八次元表現を持っていて、そのうち二つはスピノル的であり、そのひとつはベクトル表現である。これら三つの表現は同型により互いに取り換えることができて、三対性 (triality) と呼ばれる。テンプレート:Math-ベクトル束 テンプレート:Mvar を与えたとき、付随するスピン束に関する障害は、二次スティーフェル–ホイットニー類 テンプレート:Math（これは テンプレート:Math-係数二次コホモロジー群の元）である。三対性により、与えられた テンプレート:Math-スピン束 テンプレート:Mvar の随伴ベクトル束の存在に対する障害が、同じコホモロジー群の別の元（これをしばしば テンプレート:Math と書く）であることがわかる。

素粒子物理学への応用

物理学においてベクトル構造が初めて考慮されたのは、論文 テンプレート:Cite article である。彼らは、テンプレート:仮リンク（その配置は、その上に テンプレート:Math-主束を持つ10次元多様体からなる）を考えた。そのような束はベクトル構造を持ち、それゆえすべての三重交叉上の遷移函数の三重積が テンプレート:Math-商の自明元であるとき テンプレート:Math-束に持ち上がる。これが起こるのはちょうど テンプレート:Math-係数特性 2-コサイクル テンプレート:Math が消えるときである。

続く年、テンプレート:Cite article は、I-型超弦理論は（流束の無い場合において）この特性類が自明である場合に限り無矛盾 (consistent) であることを実証した。より一般に、I-型弦理論においてB-場は テンプレート:Math-係数二次のコホモロジーに属する類でもあり、彼らはこれが テンプレート:Math と等しくなければならないことを示している。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• スピノル
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal

関連文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• Something on Spin Structures by Sven-S. Porst is a short introduction to orientation and spin structures for mathematics students.