ウィルティンガーの微分

ヴィルヘルム・ヴィルティンガー

一変数および多変数の複素解析において、ウィルティンガーの微分（テンプレート:Lang-en-short, ときに テンプレート:En とも）は、複素多変数関数論に関する研究において1927年に導入したテンプレート:仮リンク (Wilhelm Wirtinger) の名前にちなんでおり、正則関数、テンプレート:仮リンク、あるいは単に複素領域上の微分可能な関数に適用したときに、1つのテンプレート:仮リンクに関して通常の微分と非常によく似た振る舞いをする、一階の偏微分作用素である。これらの作用素によって、そのような関数に対する微分学の、テンプレート:仮リンクに対する通常の微分学と完全に類似した、構成ができる。

導入

複素数 テンプレート:Math を実部と虚部に分解して テンプレート:Math と書き、テンプレート:Math の適当な領域 テンプレート:Mvar 上の実可微分関数 テンプレート:Math に対し、偏微分

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}$

を考えることができる。座標関数として テンプレート:Mvar ではなく テンプレート:Math を考えるとき、これとは別の偏微分作用素としてヴィルティンガー微分が定義されるが、複素数値関数を実部と虚部に明示的に分けずとも計算できるため扱いはより平易なものとなる。

可微分関数 テンプレート:Mvar の全微分 テンプレート:Mvar を偏微分を用いて

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

と書くとき、テンプレート:Math とすれば微分小に関して

$dx=\frac{1}{2}(dz+d\overline{z}),dy=\frac{i}{2}(d\overline{z}-dz)$

であり、これをもとの全微分に代入して整理したものを形式的に

$df=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}d\overline{z}$

と書けば、各係数

$\frac{\partial f}{\partial z}:=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}),\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}:=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})$

がヴィルティンガー微分と呼ばれるものである。しばしば テンプレート:Math および テンプレート:Math をそれぞれ テンプレート:Math および テンプレート:Math とも書き、また作用素 テンプレート:Math はコーシー–リーマン作用素とも呼ばれる。

定義

一変数の場合

テンプレート:EquationRef 複素平面 $ℂ\equiv {ℝ}^2=\{(x,y)\mid x\in ℝ,y\in ℝ\}$ を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階線型偏微分作用素として定義される：

$\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}),\frac{\partial }{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}).$

明らかに、これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域 $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^2$ 上の $C^1$ 級関数の空間であるが、これらの作用素は線型であり定数係数であるから、超関数の各空間にただちに拡張できる。

多変数の場合

テンプレート:EquationRef 複素数体上のユークリッド空間 ${ℂ}^n={ℝ}^{2n}=\{(𝐱,𝐲)=(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n)\mid 𝐱,𝐲\in {ℝ}^n\}$ を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階行列線型偏微分作用素として定義される：

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial z_1}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x_1}-i\frac{\partial }{\partial y_1})\\ & ⋮\\ \frac{\partial }{\partial z_n}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x_n}-i\frac{\partial }{\partial y_n})\end{array},\{\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}_1}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x_1}+i\frac{\partial }{\partial y_1})\\ & ⋮\\ \frac{\partial }{\partial {\overline{z}}_n}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x_n}+i\frac{\partial }{\partial y_n})\end{array}.$

一変数のときと同様これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域 $\mathrm{\Omega }$ ⊆ ℝ²ⁿ 上の $C^1$ 級関数の空間であるが定数係数の線型作用素のため超関数の空間へと拡張できる。

基本的な性質

この節以降 $z\in {ℂ}^n$ は複素ベクトルであり $z\equiv (x,y)=(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n)$ ただし $x$, $y$ は実ベクトルで n ≥ 1 とする。また、部分集合 $\mathrm{\Omega }$ は ℝ²ⁿ あるいは ℂⁿ の領域とする。証明は全てテンプレート:EquationNote、テンプレート:EquationNote、そして（常あるいは偏）微分の対応する性質の容易な結果である。

線型性

テンプレート:EquationRef $f,g\in C^1(\mathrm{\Omega })$ とし、$\alpha ,\beta$ を複素数とすると、$i=1,\dots ,n$ に対して、以下の等式が成り立つ

$\frac{\partial }{\partial z_i}(\alpha f+\beta g)=\alpha \frac{\partial f}{\partial z_i}+\beta \frac{\partial g}{\partial z_i},\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}_i}(\alpha f+\beta g)=\alpha \frac{\partial f}{\partial {\overline{z}}_i}+\beta \frac{\partial g}{\partial {\overline{z}}_i}$

積の法則

テンプレート:EquationRef $f,g\in C^1(\mathrm{\Omega })$ であれば、$i=1,\dots ,n$ に対して、積の微分法則が成り立つ

$\frac{\partial }{\partial z_i}(f\cdot g)=\frac{\partial f}{\partial z_i}\cdot g+f\cdot \frac{\partial g}{\partial z_i},\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}_i}(f\cdot g)=\frac{\partial f}{\partial {\overline{z}}_i}\cdot g+f\cdot \frac{\partial g}{\partial {\overline{z}}_i}$

この性質によってウィルティンガーの微分はちょうど通常の微分のように抽象代数学的視点の微分であることに注意。

チェインルール

これは一変数と多変数とで異なる：n > 1 に対して完全な一般性でチェインルールを表現するには2つの領域 ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }\subseteq {ℂ}^m$ および ${\mathrm{\Omega }}^{″}\subseteq {ℂ}^p$ と自然な滑らかさの要求を満たす2つの関数 $g:{\mathrm{\Omega }}^{\prime }\to \mathrm{\Omega }$ および $f:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}^{″}$ を考える必要がある。

一変数の場合

テンプレート:EquationRef $f,g\in C^1(\mathrm{\Omega })$ および $g(\mathrm{\Omega })\subseteq \mathrm{\Omega }$ であれば、チェインルールが成り立つ

$\frac{\partial }{\partial z}(f\circ g)=(\frac{\partial f}{\partial z}\circ g)\frac{\partial g}{\partial z}+(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\circ g)\frac{\partial \overline{g}}{\partial z}$

$\frac{\partial }{\partial \overline{z}}(f\circ g)=(\frac{\partial f}{\partial z}\circ g)\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}+(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\circ g)\frac{\partial \overline{g}}{\partial \overline{z}}$

多変数の場合

テンプレート:EquationRef $g\in C^1({\mathrm{\Omega }}^{\prime },\mathrm{\Omega })$ および $f\in C^1(\mathrm{\Omega },{\mathrm{\Omega }}^{\prime \prime })$ であれば、$i=1,\dots ,m$ に対し、以下の形のチェインルールが成り立つ

$\frac{\partial }{\partial z_i}(f\circ g)=\sum _{j=1}^n(\frac{\partial f}{\partial z_j}\circ g)\frac{\partial g_j}{\partial z_i}+\sum _{j=1}^n(\frac{\partial f}{\partial {\overline{z}}_j}\circ g)\frac{\partial {\overline{g}}_j}{\partial z_i}$

$\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}_i}(f\circ g)=\sum _{j=1}^n(\frac{\partial f}{\partial z_j}\circ g)\frac{\partial g_j}{\partial {\overline{z}}_i}+\sum _{j=1}^n(\frac{\partial f}{\partial {\overline{z}}_j}\circ g)\frac{\partial {\overline{g}}_j}{\partial {\overline{z}}_i}$

共役

テンプレート:EquationRef $f\in C^1(\mathrm{\Omega })$ であれば、$i=1,\dots ,n$ に対して、以下の等式が成り立つ

$\frac{\overline{\partial f}}{\partial z_i}=\frac{\partial \overline{f}}{\partial {\overline{z}}_i},\frac{\overline{\partial f}}{\partial {\overline{z}}_i}=\frac{\partial \overline{f}}{\partial z_i}$

例

• $\frac{\partial z}{\partial z}=1,\frac{\partial \overline{z}}{\partial z}=0,\frac{\partial z}{\partial \overline{z}}=0,\frac{\partial \overline{z}}{\partial \overline{z}}=1.$
• f(z) が z と テンプレート:Overline の多項式であるとき、z, テンプレート:Overline を独立変数と思って形式的に偏微分すればよい。例えば、

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial z}(z^3+3z\overline{z}+{\overline{z}}^2)& =3z^2+3\overline{z}\\ \frac{\partial }{\partial \overline{z}}(z^3+3z\overline{z}+{\overline{z}}^2)& =3z+2\overline{z}\end{array}$

• f が正則であるとき、f ′ = ∂f である。
• コーシー・リーマンの方程式が成り立つことと、テンプレート:Overlinef = 0 となることは同値である。
• ∂テンプレート:Overline = テンプレート:Overline∂ = (1/4)Δ, ここで Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² はラプラシアン。
  • 正則関数を実部・虚部に分け f = u + iv とすると、Δf = 4∂テンプレート:Overlinef = 0, したがって Δu + iΔv = 0 となるから、Δu = Δv = 0, すなわち u と v は調和であることがわかる。

関連項目

• コーシー・リーマンの関係式
• テンプレート:仮リンク (CR-関数)
• テンプレート:仮リンク
• ドルボー作用素
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Citation. Introduction to complex analysis is a short course in the theory of functions of several complex variables, held on February 1972 at the Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni "Beniamino Segre".
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• テンプレート:Citation. "Elementary introduction to the theory of functions of complex variables with particular regard to integral representations" (English translation of the title) are the notes form a course, published by the Accademia Nazionale dei Lincei, held by Martinelli when he was "Professore Linceo".

• テンプレート:Citation ISBN 978-0-387-97195-7. A textbook on complex analysis including many historical notes on the subject.
• テンプレート:Citation. Notes from a course held by Francesco Severi at the Istituto Nazionale di Alta Matematica (which at present bears his name), containing appendices of Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza and Mario Benedicty. An English translation of the title reads as:-"Lectures on analytic functions of several complex variables – Lectured in 1956–57 at the Istituto Nazionale di Alta Matematica in Rome".
• テンプレート:Cite book
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