シュタイナー楕円

三角形のシュタイナー楕円。三角形の内部の線は中線であり、交点である重心はこの楕円の中心である。

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幾何学における三角形のシュタイナー楕円（シュタイナーだえん）は、三角形の3頂点を通り重心を中心とする楕円である。名前はヤコブ・シュタイナーに由来する。シュタイナーの内接楕円との比較から、シュタイナーの外接楕円と呼ばれることもある。

シュタイナー楕円の面積は元の三角形の $\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}$倍であり、シュタイナーの内接楕円の4倍である。三角形に外接する楕円（外接円を含む）のうち、最も面積が小さい。

以下の解説で特に説明がない場合、 a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。

三角形上の座標による表記

シュタイナー楕円の三線座標による表記は、以下の式で表される。

$bcyz+cazx+abxy=0$

重心座標の場合は以下の式になる。

$yz+zx+xy=0$

軸と焦点

長軸と短軸の長さは以下の式で表される。

$\frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2\pm 2Z},$

焦点間の長さは以下になる。

$\frac{2}{3}\sqrt{Z}$

ただし、Ｚ は以下の式で表される値である。

$Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2{b}^2-b^2{c}^2-c^2{a}^2}.$

2つの焦点は Bickart points と呼ばれ、クラーク・キンバリングのBICENTRIC PAIRS OF POINTSではP(116),U(116)として登録されている。その重心座標は以下の式で表される。すなわち、

$V=2a^2{b}^2{c}^2{Z}^3,W=b^6{c}^6+c^6{a}^6+a^6{b}^6-3a^4{b}^4{c}^4-(b^4{c}^4+c^4{a}^4+a^4{b}^4)Z^2,$

$f(a,b,c)=2(b^2-c^2)(a^4-b^2{c}^2-a^{2}Z)+\sqrt{V-W}$

として、

$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b),f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)$

その他

• 外接円とは4点で交わる。このうち3点は頂点である。残りの1点はシュタイナー点である。
• 外接円錐曲線の一つである。
• シュタイナー内接楕円とは重心を共有するとともに相似の関係にあり、相似比は 2:1 であるとともに、両楕円の長軸および短軸はそれぞれ同一直線上に在る。したがって両楕円の焦点もまた同一直線上に在り、離心率は等しく、面積比は 4:1 である。