実二次正方行列

実二次正方行列（じつ2じせいほうぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short; 二行二列実行列）とは、数学の線型代数学において、成分が実数である テンプレート:Math次正方行列のことである。

行列の演算をもつ。すなわち、テンプレート:仮リンクが定義される。さらに、正方行列の演算をもつ。すなわち、行列の積が定義される。したがって、実二次正方行列全体は行列環をなし、記号で テンプレート:Math と表す。

実二次正方行列

$q=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

に対して対合

$q^{*}=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

が定義され、

テンプレート:Math

が成り立つ（ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Math次単位行列、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の行列式である）。従って テンプレート:Math ならば テンプレート:Mvar は正則行列で、その逆行列が

$q^{-1}=\frac{1}{ad-bc}{q}^{*}$

で与えられる。

正則行列全体の成す集合は一般線型群 テンプレート:Math である。抽象代数学の観点からは、テンプレート:Math は実2次正方行列環 テンプレート:Math に付随する加法および乗法に関して環の単元群である。また テンプレート:Math は実数体上四次元のベクトル空間でもあり、結局実数体上の結合多元環として理解できる。テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクの全体と環同型になるが、その平面部分環族 (profile) は異なる。

各実テンプレート:Math次正方行列 テンプレート:Math は二次元の数ベクトル空間からそれ自身への線型写像

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\mapsto \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$

と一対一対応する。

平面部分環の族

テンプレート:Math 内で、スカラー行列（つまり単位行列 テンプレート:Mvar の任意の実数倍）の全体は実数直線と見なすことができる。この実数直線は、以下に述べる可換部分環 テンプレート:Mvar の全てが共有する:

テンプレート:Math なる テンプレート:Gaps 実行列 テンプレート:Mvar に対して、「平面」テンプレート:Math と置けば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の可換部分環で テンプレート:Math を満たす。ただし、和は テンプレート:Math なる テンプレート:Mvar すべてにわたってとる。

そのような テンプレート:Mvar を同定するために、テンプレート:Mvar でも テンプレート:Math でもない一般の テンプレート:Gaps 実行列 テンプレート:Math を平方すれば

$\left[\begin{array}{cc}aa+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+dd\end{array}\right]$

である。テンプレート:Math ならばこれは対角行列となるから、上記の可換部分環を成す テンプレート:Mvar を求めるに際して テンプレート:Math を仮定することができる。 テンプレート:Ordered list テンプレート:Math に適当な基底変換を施せば、この平面部分環族は、テンプレート:Mvar と テンプレート:Math が双曲面のように対称な形をとるテンプレート:仮リンクの平面部分環族に書きなおすことができる。

等積変換行列

テンプレート:Main まず微分ベクトルの変換

$\left[\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}p& r\\ q& s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}pdx+rdy\\ qdx+sdy\end{array}\right]$

を行ったとき、面積は「密度」を込めて微分 2-形式 テンプレート:Math（楔積 テンプレート:Math は外積代数も参照）で測られるから、この変換の密度

$du\wedge dv=(\det g)dx\wedge dy$

に注意すれば、等積変換の全体は行列式 テンプレート:Math の行列からなる特殊線型群 テンプレート:Math と同一視できる。前節のごとく平面部分環族 テンプレート:Mvar を取れば、各 テンプレート:Math は適当な テンプレート:Mvar に対する可換部分環 テンプレート:Mvar に入り、また テンプレート:Math であるから、以下の三者択一: テンプレート:Ordered listが成り立つ。 平面アフィン群について テンプレート:Harvtxt Linear Geometry は平面線型写像に関する同様の三分律に関して書いている。

行列変数の函数

テンプレート:Seealso テンプレート:Math の可換部分環族は、この行列環の函数論を決定する。特に三種類の平面部分環がそれぞれ持つ代数構造は、代数的な式の値を決めるものである。以下に述べるように平方根函数や対数函数を考えることは、部分平面 テンプレート:Mvar の各々が持つ特別な性質に従って課される制約条件について詳らかにする。テンプレート:Mvar の単元群のテンプレート:仮リンク（単位元の属する連結成分）の概念は、各単元群におけるテンプレート:仮リンク: テンプレート:Ordered listを導く。一つ目（複素数）の場合 テンプレート:Math であり、二つ目（二重数）の場合 テンプレート:Math である。三つ目（分解型複素数）の場合は単元群が四つの連結成分に分解され、単位成分は テンプレート:Mvar および テンプレート:Math でパラメータ付けされる。

ここで式の上では部分平面 テンプレート:Mvar の別なく テンプレート:Math と「平方根函数」を定義するが、この函数の引数は テンプレート:Mvar それぞれの単元群の単位成分から取るものとする（つまり、二重数平面の場合はその半分の半平面を考えず、分解型複素数平面の場合にはその3/4の部分を取り除かねばならない）。

同様に、テンプレート:Math が平面 テンプレート:Mvar の単元群の単位成分の元であるときには、それを「対数函数」で写した値を テンプレート:Math と定義する。対数函数の定義域は上記の平方根函数の場合と同一の制約を抱えている（つまり、テンプレート:Math または テンプレート:Math のそれぞれの場合において テンプレート:Mvar の半分または3/4を除外しなければならない）。

更なる函数論の詳細については、複素函数論（複素変数の場合）およびテンプレート:仮リンク（分解型複素変数の場合）を参照せよ。

実数体の二次拡大環として

テンプレート:Main 各 テンプレート:Gaps 実行列は三種類の一般化された複素数（つまり、通常の複素数、二重数、分解型複素数）のひとつとして解釈できる。上述のように、二次の実正方行列環は、これら一般化された複素数平面の（同じ実軸を共有する）合併として記述され、各平面 テンプレート:Mvar は各々可換部分環として表されるのであった。以下に示すように、任意に与えられた二次正方行列が、どの一般化複素平面に属するのかを決定して、平面を表す一般化複素数の種類を分類することができる。

以下、与えられた二次正方行列

$z=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

に対して テンプレート:Mvar を含む平面 テンプレート:Mvar を決定する。

先に述べたように、行列 テンプレート:Mvar の平方が対角行列となるのは テンプレート:Math のときであるから、行列 テンプレート:Mvar は単位行列 テンプレート:Mvar の実数倍と超平面 テンプレート:Math に属する行列との和に表されなければならない。テンプレート:Mvar を テンプレート:Math のこれら部分空間へ射影したものを考えれば

$z=xI+n,(x=\frac{a+d}{2},n=z-xI)$

と書けて、

$n^2=pI(p=\frac{(a-d{)}^2}{4}+bc)$

を得る。これにより テンプレート:Mvar に関する三分律を得る。 テンプレート:Ordered list

同様に、テンプレート:Gaps 行列を（先述の極分解によって）極座標で表すことができる（無論、二重数の場合に連結成分が二つ存在すること、および分解型四元数の場合に連結成分が四つ存在することに注意せねばならない）。

参考文献

• Rafael Artzy (1965) Linear Geometry, Chapter 2-6 Subgroups of the Plane Affine Group over the Real Field, p. 94, Addison-Wesley.
• Helmut Karzel & Gunter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries", found in
  • Rings and Geometry, R. Kaya, P. Plaumann, and K. Strambach editors, pp. 437–509, esp 449,50, D. Reidel ISBN 90-277-2112-2 .
• Svetlana Katok (1992) Fuchsian groups, pp. 113ff, University of Chicago Press ISBN 0-226-42582-7 .
• テンプレート:Cite book