自由代数
テンプレート:Otheruses 数学、とくに環論という抽象代数学の分野において、自由代数（じゆうだいすう、テンプレート:Lang-en-short）は多項式環の非可換類似である、なぜならばその元は可換でない変数の「多項式」として書けるからである。同様に、多項式環は自由可換代数 (free commutative algebra) と見ることができる（多項式環#多項式環の普遍性参照）。
定義
可換環 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar 不定元 テンプレート:Math 上の自由（結合的単位的）代数とは、アルファベット テンプレート:Math 上のすべての語（空な語を含み、これは自由代数の単位元である）からなる基底を持つ[[自由加群|自由 テンプレート:Mvar 加群]]である。この テンプレート:Mvar 加群は積を以下のように定義して テンプレート:Mvar 代数となる：2つの基底元の積は対応する語の結合
であり、2つの任意の元の積は、これらの積から一意的に決定される（なぜならば テンプレート:Mvar 代数における積は テンプレート:Mvar 双線型でなければならないからである）。この テンプレート:Mvar 代数は テンプレート:Math と書かれる。この構成は不定元の任意の集合 テンプレート:Mvar に容易に一般化できる。つまり、任意の集合 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Mvar 上の自由（結合的単位的テンプレート:Mvar-代数は
に語の積が結合となる テンプレート:Mvar-双線型な積が入ったものである、ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の自由モノイド（すなわちアルファベット テンプレート:Mvar 上の語すべてからなるモノイド）を表し、 は外部直和を表し、テンプレート:Mvar は1元、語 テンプレート:Mvar 上の[[自由加群|自由 テンプレート:Mvar 加群]]を表す。
例えば、テンプレート:Math において、スカラー テンプレート:Math に対して、2元の積の具体例は である。
自由 テンプレート:Mvar-代数 テンプレート:Math は自由モノイド テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 上のモノイド環 テンプレート:Math と同一視できる。
多項式との対照
アルファベット テンプレート:Math 上の語全体は テンプレート:Math の基底をなすから、テンプレート:Math の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである：
ただし は テンプレート:Mvar の元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。これはなぜ テンプレート:Math の元が「変数」（あるいは「不定元」テンプレート:Math の「非可換多項式」としばしば呼ばれるのかを説明する；元 はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、テンプレート:Mvar 代数 テンプレート:Math は「テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar 不定元の非可換多項式環」と呼ばれる。本当の多項式環とは異なり、変数たちは可換ではないことに注意。例えば テンプレート:Math は テンプレート:Math と等しくない。
より一般に、任意の生成元の集合 テンプレート:Mvar 上の自由代数 テンプレート:Math を構成することができる。環は テンプレート:Math 代数と見なすことができるから、テンプレート:Mvar 上の自由環 (free ring) は自由代数 テンプレート:Math として定義できる。
体上では テンプレート:Mvar 不定元の自由代数は テンプレート:Mvar 次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般の係数環に対しては、テンプレート:Mvar 生成元の自由加群を取ることで同じ構成ができる。
テンプレート:Mvar 上の自由代数の構成は本来関手的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関手は テンプレート:Mvar 代数の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴である。
可除環上の自由代数はテンプレート:仮リンクである。