ルート系

数学において，ルート系（テンプレート:Lang-en-short，テンプレート:Lang-fr-short）とはある幾何学的な性質を満たすユークリッド空間のベクトルの配置である．これはリー群やリー環の理論において基本的な概念である．リー群（や代数群のような類似物）やリー環は20世紀の間に数学の多くの部分で重要になってきたから，ルート系の一見すると特別な性質に反してそれらは多くの分野に応用される．さらに，ディンキン図形によるルート系の分類体系は（テンプレート:仮リンクのような）リー理論とあからさまなつながりの全くない数学の分野において現れる．最後に，ルート系はスペクトルグラフ理論におけるように，それ自身重要である^[1]．

定義と基本的な例

最初の例として，図に示されているような，2次元ユークリッド空間テンプレート:Math における6つのベクトルを考える．これらのベクトルは空間全体を張る．任意のルートテンプレート:Mvar に垂直な直線を考えると，その直線によるテンプレート:Math の鏡映は任意の他のルートテンプレート:Mvar を別のルートに写す．さらに，写り先はテンプレート:Math に等しい，ただしテンプレート:Mvar は整数である（この場合テンプレート:Mvar はテンプレート:Math である）．これら6つのベクトルは以下の定義を満たし，したがってルート系をなす；このルート系はテンプレート:Math と呼ばれる．

定義

テンプレート:Mvar を有限次元ユークリッドベクトル空間とし，テンプレート:Math を標準ユークリッド内積とする．テンプレート:Mvar のルート系 (root system) とは，非零ベクトルの有限集合テンプレート:Math であって，以下の条件を満たすもののことであるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn：テンプレート:Ordered list 条件3と4を書く同値な方法は以下である：

テンプレート:Ordered list

ルート系テンプレート:Math に含まれるベクトルはルート（root）と呼ばれる．著者によってはルート系の定義に条件2と3のみを課すテンプレート:Sfn．この文脈では，整数性（条件4）も満たすルート系は結晶的（crystallographic）と呼ばれるテンプレート:Sfn．別の著者は条件 2 を省く；このとき条件 2 を満たすルート系は被約（reduced）と呼ばれるテンプレート:Sfn．この記事では，すべてのルート系は被約かつ結晶的と仮定する．

性質3より，整数性条件は次のように述べても同値である：テンプレート:Mvar とその鏡映テンプレート:Math との差はテンプレート:Mvar の整数倍である．性質4によって定義される演算

⟨ \cdot, \cdot ⟩ : Φ \times Φ \to ℤ

は内積ではないことに注意．対称であるとは限らず，第一変数についてのみ線型である．

**階数 2 のルート系**

ルート系 Aテンプレート:Sub × Aテンプレート:Sub テンプレート:Dynkin	ルート系 Dテンプレート:Sub テンプレート:Dynkin

ルート系 A₂ テンプレート:Dynkin	ルート系 G₂ テンプレート:Dynkin

ルート系 B₂ テンプレート:Dynkin	ルート系 C₂ テンプレート:Dynkin

ルート系テンプレート:Math の階数 (rank) はテンプレート:Mvar の次元である．

2つのルート系は，それらの張るユークリッド空間を共通のユークリッド空間の互いに直交する部分空間と見ることで，つなげることができる．そのような結合から生じないルート系は既約 (irreducible) といわれる．例えば右に描かれているルート系 A₂, B₂, G₂ は既約である．

2つのルート系テンプレート:Math とテンプレート:Math が同型 (isomorphic) であるとは，可逆な線型変換テンプレート:Math であって，テンプレート:Math とテンプレート:Math に送り，ルートの各対に対して，数テンプレート:Math が保たれるものが存在することをいうテンプレート:Sfn．

ルート系テンプレート:Math のルートに直交する超平面による鏡映によって生成されるテンプレート:Mvar の等長変換の群

W = ⟨ σ_{α} ∣ α \in Φ ⟩

をテンプレート:Math のワイル群と呼ぶ．ワイル群は有限集合テンプレート:Math に忠実に作用するから，必ず有限群である．

ルート系テンプレート:Math のテンプレート:Anchorsルート格子 (root lattice) とは，テンプレート:Math で生成されるテンプレート:Mvar の部分テンプレート:Math 加群である．それはテンプレート:Mvar の格子である．

階数 2 の例

階数 1 のルート系は1つしかない，すなわち2つの非零ベクトルからなるテンプレート:Math である．このルート系はテンプレート:Math と呼ばれる．

階数 2 では，テンプレート:Math, テンプレート:Math に応じて，4つの可能性があるテンプレート:Sfn．ルート系はそれが生成する格子によっては決定されないことに注意：テンプレート:Math とテンプレート:Math はともに正方格子を生成するし，テンプレート:Math とテンプレート:Math はともにテンプレート:仮リンクを生成する．5種類ある2次元格子のうち2つだけである．

テンプレート:Math がテンプレート:Mvar のルート系で，テンプレート:Mvar がテンプレート:Math で張られるテンプレート:Mvar の部分空間であるときにはいつでも，テンプレート:Math はテンプレート:Mvar のルート系である．したがって，階数 2 の4つのルート系の完全なリストは，任意の階数のルート系から選ばれた任意の2つのルートの幾何学的可能性を示している．特に，2つのそのようなルートの角度は，必ず 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180 度のいずれかである．

歴史

ルート系の概念は最初1889年頃ヴィルヘルム・キリング (Wilhelm Killing) によって導入された（ドイツ語，Wurzelsystemテンプレート:Sfn）テンプレート:Sfn．彼は複素数体上のすべての単純リー環を分類しようとしたときにそれらを用いた．キリングはもともと分類で間違いを犯していて，例外型の階数 4 のルート系を2つ挙げていたが，実際には1つしかなく，今ではテンプレート:Math と呼ばれるものである．カルタンが後にこの誤りを，キリングの2つのルート系が同型であることを示すことで，訂正したテンプレート:Sfn．

キリングはカルタン部分環（と今では呼ばれているもの）テンプレート:Mvar を考えることによって，リー環テンプレート:Mvar の構造を研究した．そして彼は特性多項式テンプレート:Math, ただしテンプレート:Math, の根を研究した．ここでここで「根」(root) はテンプレート:Mvar の関数として考える，あるいは実際双対ベクトル空間テンプレート:Math の元として考える．根のこの集合は上で定義されたようにテンプレート:Math のルート系をなす，ただし内積はキリング形式であるテンプレート:Sfn．

ルート系の公理の初等的な結果

2つのルートの間の角度の余弦は整数の平方根の半整数倍に制限される．なぜならば，テンプレート:Math とテンプレート:Math はともに仮定により整数で，

\begin{matrix} ⟨ β, α ⟩ ⟨ α, β ⟩ & = 2 \frac{(α, β)}{(α, α)} \cdot 2 \frac{(α, β)}{(β, β)} = 4 \frac{(α, β)^{2}}{| α |^{2} | β |^{2}} \\ = 4 \cos^{2} (θ) = (2 \cos (θ))^{2} \in ℤ \end{matrix}

であるからである．

正ルートと単純ルート

ルート系テンプレート:Math が与えられると，必ず，正ルート（positive root）の集合を（何通りも）取ることができる．これはテンプレート:Math の部分集合テンプレート:Math であって，以下を満たすものである：

各ルートテンプレート:Math に対して，ルートテンプレート:Math とテンプレート:Math のうちちょうど1つがテンプレート:Math に含まれる．
任意の2つの相異なるテンプレート:Math であってテンプレート:Math がルートであるものに対して，テンプレート:Math である．

正ルートの集合テンプレート:Math が選ばれると，テンプレート:Math の元は負ルート（negative root）と呼ばれる．

テンプレート:Math の元が単純ルート（simple root）であるとは，テンプレート:Math の2つの元の和で書けないことをいう．単純ルート全体の集合テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の基底であって，テンプレート:Math の任意のベクトルが係数がすべて非負かすべて非正のテンプレート:Math の元の線型結合であるという性質を持つテンプレート:Sfn．正ルートの各選択に対して，対応する単純ルートの集合は次のような一意的なルートの集合テンプレート:Math である：正ルート全体はちょうど，非負係数のテンプレート:Math の元の線型結合として表せるもの全体であり，これらの線型結合は一意である．

ルートの半順序

テンプレート:Math ルート半順序集合のハッセ図．辺のラベルは足された単純ルートの位置．

正ルート全体の集合はテンプレート:Math をテンプレート:Math が単純ルートの非負線型結合であることとして自然に順序付けられる．この半順序集合は

\deg (\sum_{α \in Δ} λ_{α} α) = \sum_{α \in Δ} λ_{α}

によってテンプレート:仮リンク，多くの注目すべき組合せ論的性質を持つ．その1つはこの半順序集合から対応するワイル群の基本不変式の次数を決定できることであるテンプレート:Sfn．ハッセグラフはルート半順序集合の順序の可視化である．

双対ルート系とコルート

テンプレート:See also テンプレート:Math がテンプレート:Mvar のルート系であるとき，ルートテンプレート:Mvar のコルート テンプレート:Math は

α^{\lor} = \frac{2}{(α, α)} α

によって定義される．コルートの集合もテンプレート:Mvar のルート系テンプレート:Math をなし，双対ルート系（あるいはときどき逆ルート系）と呼ばれる．定義によりテンプレート:Math であるから，テンプレート:Math はテンプレート:Math の双対ルート系である．テンプレート:Math で張られるテンプレート:Mvar の格子はコルート格子と呼ばれる．テンプレート:Math とテンプレート:Math は同じワイル群テンプレート:Mvar を持ち，テンプレート:Math に対して，

(s α)^{\lor} = s (α^{\lor})

である．テンプレート:Math がテンプレート:Math の単純ルートの集合であれば，テンプレート:Math はテンプレート:Math の単純ルートの集合であるテンプレート:Sfn．

ディンキン図形によるルート系の分類

ルート系が既約であるとは，2つの真の部分集合の和集合テンプレート:Math であって，すべてのテンプレート:Math とテンプレート:Math に対してテンプレート:Math となるようなものに分割できないことをいう．

既約ルート系はテンプレート:仮リンクにちなんで名づけられているディンキン図形というグラフと対応する．これらのグラフの分類は単純な組合せ論であり，既約ルート系の分類をもたらす．

ルート系が与えられたとき，前の節にあるように単純ルートの集合テンプレート:Math を選ぶ．付随するディンキン図形の頂点はテンプレート:Math のベクトルに対応する．ベクトルの直交しない各対の間に辺が描かれる．なす角度がテンプレート:Math ラジアンのときは，無向の一重辺であり，テンプレート:Math のときは有向二重辺であり，テンプレート:Math のときは有向三重辺である．「有向辺」という用語は二重・三重辺は短い方のベクトルを指す記号が付けられることを意味する．

与えられたルート系の単純ルートの集合の可能性は1つではないが，ワイル群はそのような選び方に推移的に作用する^[2]．したがって，ディンキン図形は単純ルートたちの選び方には依らず，ルート系自身によって決定される．逆に，同じディンキン図形をもつ2つのルート系が与えられると，基底のルートから合わせ始めて，2つが実は同じであることを示すことができる．

したがってルート系の分類の問題は可能なディンキン図形の分類の問題に帰着する．ルート系が既約であることとそのディンキン図形が連結であることは同値である．ディンキン図形は基底テンプレート:Math のことばでテンプレート:Mvar の内積の情報を持っており，この内積が正定値でなければならないという条件は所望の分類を得るのに必要なすべてであることが判明する．

実際の連結図形は以下のとおりである．サブスクリプトは図形の頂点の個数（したがって対応する既約ルート系の階数）を指し示す．

既約ルート系の性質

テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Mvar	テンプレート:Mvar	テンプレート:Math
A_n (n ≥ 1)	n(n + 1)			n + 1	(n + 1)!
B_n (n ≥ 2)	2n²	2n	2	2	2ⁿ n!
C_n (n ≥ 3)	2n²	2n(n − 1)	2ⁿ⁻¹	2	2ⁿ n!
D_n (n ≥ 4)	2n(n − 1)			4	2^n − 1 n!
テンプレート:仮リンク	72			3	51840
テンプレート:仮リンク	126			2	2903040
テンプレート:仮リンク	240			1	696729600
テンプレート:仮リンク	48	24	4	1	1152
テンプレート:仮リンク	12	6	3	1	12

既約ルート系は対応する連結ディンキン図形にしたがって名づけられる．4つの無限族（A_n, B_n, C_n, D_n で，古典型ルート系と呼ばれる）と5つの例外的な場合（例外型ルート系）が存在する^[3]．サブスクリプトはルート系の階数を意味する．

既約ルート系において長さテンプレート:Math の値は高々2種類であり，短いルートと長いルートである．すべてのルートが同じ長さを持っているときは長いと定義し，ルート系は simply laced といわれる．これは A, D, E の場合におこる．同じ長さの任意の2つのルートはワイル群の同じ軌道に入る．Simply laced でない場合 B, C, G, F では，ルート格子は短いルートによって張られ，長いルートは部分格子を張り，これはワイル群で不変で，コルート格子のテンプレート:Math 倍に等しい，ただしテンプレート:Mvar は長いルートの長さである．

添付の表において，テンプレート:Math は短いルートの個数を表し，テンプレート:Mvar は長いルートによって生成される部分格子のルート格子における指数を表し，テンプレート:Mvar はカルタン行列の行列式を表し，テンプレート:Math はワイル群の位数を表す．

既約ルート系の明示的な構成

A_n

A₃
	e₁	e₂	e₃	e₄
α₁	1	−1	0	0
α₂	0	1	−1	0
α₃	0	0	1	−1
テンプレート:Dynkin2

テンプレート:Mvar を座標の和がテンプレート:Math になるテンプレート:Math の部分空間とし，テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の長さテンプレート:Math の整数ベクトルすなわちテンプレート:Math において整数座標を持つベクトル全体の集合とする．そのようなベクトルは2つを除くすべての座標がテンプレート:Math で，1つの座標はテンプレート:Math で，1つはテンプレート:Math でなければならず，したがって全部でテンプレート:Math 個のルートがある．単純ルートの取り方の1つを標準基底で表すと：テンプレート:Math に対してテンプレート:Math.

テンプレート:Math に垂直な超平面を通る鏡映テンプレート:Mvar は隣り合うテンプレート:Mvar 番目とテンプレート:Math 番目の置換と同じである．そのような互換は全置換群を生成する．隣り合う単純ルートに対して，

テンプレート:Math

である，つまり，鏡映は1倍を足すことに等しい．しかし，隣り合わない単純ルートに垂直な単純ルートの鏡映はそれを変えず，0倍を引くことである．

テンプレート:Math ルート格子，つまりテンプレート:Math ルートによって生成される格子は，成分の和がテンプレート:Math であるテンプレート:Math の整数ベクトルの集合として最も容易に記述される．

テンプレート:Math ルート格子は結晶学者に面心立方 (fcc)（あるいは立方最密）格子と呼ばれている^[4]．

テンプレート:Math ルート系は（他の階数 3 のルート系も）ゾムツール・コンストラクション・セットで模型を作れるテンプレート:Sfn．

B_n

B₄
1	−1	0	0
0	1	−1	0
0	0	1	−1
0	0	0	1
テンプレート:Dynkin2

テンプレート:Math とし，テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の長さテンプレート:Math かテンプレート:Math のすべての整数ベクトルからなるとする．ルートの総数はテンプレート:Math である．単純ルートたちの1つの選び方は：テンプレート:Math に対してテンプレート:Math と（テンプレート:Math に対する上の単純ルートの取り方），短ルートテンプレート:Math である．

短ルートテンプレート:Math に垂直な超平面に関する鏡映テンプレート:Mvar はもちろん単にテンプレート:Mvar 番目の座標のテンプレート:Math 倍である．長単純ルートテンプレート:Math に対し，テンプレート:Math であるが，短ルートに垂直な鏡映に対しては，テンプレート:Math であり，1倍ではなく2倍である．

テンプレート:Math ルート格子，つまり，テンプレート:Math ルートによって生成される格子は，すべての整数ベクトルからなる．

テンプレート:Math はテンプレート:Math によるスケーリングによって，テンプレート:Math に同型であり，したがって異なるルート系ではない．

C_n

C₄
1	−1	0	0
0	1	−1	0
0	0	1	−1
0	0	0	2
テンプレート:Dynkin2

テンプレート:Math とし，テンプレート:Math を長さテンプレート:Math のテンプレート:Mvar のすべての整数ベクトルと，テンプレート:Mvar を長さテンプレート:Math の整数ベクトルとしてテンプレート:Math の形のすべてのベクトルからなるとする．ルートの総数はテンプレート:Math である．単純ルートの1つの選び方は：テンプレート:Math に対してテンプレート:Math と（Aテンプレート:Sub に対する単純ルートの上の選び方），長い方のルートテンプレート:Math である．

鏡映テンプレート:Math であるが，テンプレート:Math である．

テンプレート:Math ルート格子，つまりテンプレート:Math ルートによって生成される格子は，成分の和が偶数な整数ベクトル全てからなる．

テンプレート:Math はテンプレート:Math によるスケーリングと 45 度の回転によってテンプレート:Math と同型であり，したがって相異なるルート系ではない．

ルート系テンプレート:Math を立方体と正八面体の中の点として描いたもの

D_n

D₄
1	−1	0	0
0	1	−1	0
0	0	1	−1
0	0	1	1

テンプレート:Math とし，テンプレート:Math を長さテンプレート:Math のテンプレート:Mvar のすべての整数ベクトルからなるとする．ルートの総数はテンプレート:Math である．単純ルートたちの1つの選び方は：テンプレート:Math に対してテンプレート:Math と（Aテンプレート:Sub に対する単純ルートの上の選び方），テンプレート:Math である．

テンプレート:Math に垂直な超平面を通る鏡映は隣り合うテンプレート:Mvar 番目とテンプレート:Math 番目の座標をテンプレート:仮リンクテンプレート:Math 倍するのと同じである．任意の単純ルートと別の単純ルートに垂直なその鏡映との差は二番目のルートの0倍か1倍であり，それより大きくはない．

テンプレート:Math ルート格子，つまり，テンプレート:Math ルートによって生成される格子は，成分の和が偶数であるような整数ベクトル全部からなる．これはテンプレート:Math ルート格子と同じである．

テンプレート:Math はテンプレート:Math と一致し，したがって相異なるルート系ではない．

テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクと呼ばれる追加の対称性を持つ．

E₆, E₇, E₈

テンプレート:仮リンクの 72 個の頂点はテンプレート:仮リンクのルートベクトルを表す（緑の頂点はこの Eテンプレート:Sub コクセター平面射影では倍増にされている）	テンプレート:仮リンクの 126 個の頂点はテンプレート:仮リンクのルートベクトルを表す	テンプレート:仮リンクの 240 個の頂点はテンプレート:仮リンクのルートベクトルを表す

テンプレート:Math ルート系は次の集合に合同なテンプレート:Math のベクトルの任意の集合である：

D_{8} \cup {\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{8} ε_{i} 𝐞_{i} : ε_{i} = \pm 1, ε_{1} \dots ε_{8} = + 1} .

このルート系は240個のルートを持つ．いま挙げた集合は，テンプレート:Math ルート格子の長さテンプレート:Math のベクトル全部の集合である．この格子は単にテンプレート:仮リンクやテンプレート:Math とも呼ばれる．これはテンプレート:Math の次のような点全体の集合である：

すべての座標が整数であるか，あるいは，すべての座標が整数でない半整数であり，
8つの座標の和は偶数である．

したがって，

E_{8} = {α \in 𝐙^{8} \cup {(𝐙 + \frac{1}{2})}^{8} : | α |^{2} = \sum α_{i}^{2} = 2, \sum α_{i} \in 2 𝐙} .

ルート系テンプレート:Math は，テンプレート:Math の固定された1つのルートに垂直なテンプレート:Math のベクトル全部の集合である．ルート系テンプレート:Math は126個のルートを持つ．
ルート系テンプレート:Math は，テンプレート:Math の固定された1つのルートに垂直なテンプレート:Math のベクトル全部の集合ではない，実際，そのようにしてテンプレート:Math を得る．しかしながら，テンプレート:Math はテンプレート:Math の適切に選ばれた2つのルートに垂直なテンプレート:Math の部分系である．ルート系テンプレート:Math は72個のルートを持つ．

E₈ の単純ルート: 偶座標
1	−1	0	0	0	0	0	0
0	1	−1	0	0	0	0	0
0	0	1	−1	0	0	0	0
0	0	0	1	−1	0	0	0
0	0	0	0	1	−1	0	0
0	0	0	0	0	1	−1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
−½	−½	−½	−½	−½	−½	−½	−½

特に便利なテンプレート:Math 格子の別の記述は，テンプレート:Math のつぎのような全ての点の集合テンプレート:Math である：

すべての座標は整数であり，座標の和は偶数である，あるいは，
すべての座標は整数でない半整数であり，座標の和は奇数である．

格子テンプレート:Math とテンプレート:Math は同型である；一方から他方へ，任意の奇数個の座標の符号を変えることによって行ける．格子テンプレート:Math はテンプレート:Math の偶座標系と呼ばれることがあり，格子テンプレート:Math は奇座標系と呼ばれることがある．

テンプレート:Math に対する単純ルートの1つの選び方は，上のディンキン図形での頂点の順序によって行を順序づけた偶座標系において：

テンプレート:Math に対してテンプレート:Math と

テンプレート:Math

（テンプレート:Math に対する単純ルートの上の選び方）と

テンプレート:Math.

E₈ の単純ルート: 奇座標
1	−1	0	0	0	0	0	0
0	1	−1	0	0	0	0	0
0	0	1	−1	0	0	0	0
0	0	0	1	−1	0	0	0
0	0	0	0	1	−1	0	0
0	0	0	0	0	1	−1	0
0	0	0	0	0	0	1	−1
−½	−½	−½	−½	−½	½	½	½

テンプレート:Math に対する単純ルートの1つの選び方は，上のディンキン図形での頂点の順序によって行を順序づけた奇座標系において：

テンプレート:Math に対してテンプレート:Math

（テンプレート:Math に対する単純ルートの上の選び方）と

テンプレート:Math, ただし

テンプレート:Math.

（テンプレート:Math を使っても同型な結果を与える．テンプレート:Math あるいはテンプレート:Math を使うと単にテンプレート:Math あるいはテンプレート:Math を与える．テンプレート:Math については，その座標の和はテンプレート:Math であり，同じことはテンプレート:Math に対しても正しく，したがってそれらは座標の和がテンプレート:Math になる 7 次元部分空間しか張らない；実はテンプレート:Math は基底テンプレート:Math において座標テンプレート:Math を持つ．）

テンプレート:Math との直交性は最初の2つの座標が等しいことを意味するから，テンプレート:Math は最初の2つの座標が等しいテンプレート:Math の部分集合であり，同様にテンプレート:Math は最初の3つの座標が等しいテンプレート:Math の部分集合である．これはテンプレート:Math とテンプレート:Math の明示的な定義を容易にする：

E₇ = {α ∈ Z⁷ ∪ (Z+½)⁷ : ∑α_i² + α₁² = 2, ∑α_i + α₁ ∈ 2Z},

E₆ = {α ∈ Z⁶ ∪ (Z+½)⁶ : ∑α_i² + 2α₁² = 2, ∑α_i + 2α₁ ∈ 2Z}.

テンプレート:Math を消してテンプレート:Math を消すと，テンプレート:Math とテンプレート:Math の単純ルートの集合を与えることに注意．しかしながら，単純ルートのこれらの集合は上に書いたのとは異なるテンプレート:Math のテンプレート:Math およびテンプレート:Math 部分空間に属する，なぜならばそれらはテンプレート:Math あるいはテンプレート:Math に直交しないからである．

F₄

F₄ の単純ルート
1	−1	0	0
0	1	−1	0
0	0	1	0
−½	−½	−½	−½
テンプレート:Dynkin2

テンプレート:Math に対して，テンプレート:Math とし，テンプレート:Math を長さがテンプレート:Math かテンプレート:Math のベクトルテンプレート:Mvar であってテンプレート:Math の座標がすべて整数ですべて偶数かすべて奇数なもの全体の集合とする．この系には48個のルートがある．単純ルートの1つの選び方は：テンプレート:Math に対して上で与えられた単純ルートの選び方と，テンプレート:Math.

テンプレート:Math ルート格子，つまりテンプレート:Math ルート系によって生成される格子は，テンプレート:Math の点であってすべての座標が整数であるかまたはすべての座標が整数でない半整数であるようなもの全体の集合である．この格子はテンプレート:仮リンクの格子に同型である．

G₂

G₂ の単純ルート
1	−1	0
−1	2	−1
テンプレート:Dynkin2

ルート系テンプレート:Math は12個のルートを持ち，六芒星の頂点をなす．上の絵を参照．

単純ルートの1つの選び方は：テンプレート:Math, ただしテンプレート:Math に対してテンプレート:Math はテンプレート:Math に対する単純ルートの上の選び方である．

テンプレート:Math ルート格子，つまり，テンプレート:Math ルートによって生成される格子は，テンプレート:Math ルート格子と同じである．

ルート系とリー理論

既約ルート系はリー理論におけるいくつかの関連した対象を分類する，特に

以下を含む単純リー群（テンプレート:仮リンクを参照）：
- 複素単純リー群；
- 付随する複素単純リー環；
- 中心で割って単純な単連結複素リー群．

各場合において，ルートは随伴表現の非零ウェイトである．

極大トーラステンプレート:Mvar をもつ単連結単純コンパクトリー群テンプレート:Mvar の場合には，ルート格子は自然にテンプレート:Math と同一視でき，コルート格子はテンプレート:Math とできる，ただしテンプレート:Math は円周群である；テンプレート:Harvtxt を参照．

例外型ルート系とそれらのリー群とリー環との関係は，テンプレート:仮リンク, テンプレート:仮リンク, テンプレート:仮リンク, テンプレート:仮リンク, テンプレート:仮リンクを参照．

テンプレート:Exceptional Lie groups

脚注

テンプレート:脚注ヘルプテンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:Citation
テンプレート:Citation. The classic reference for root systems.
テンプレート:Cite book
テンプレート:Citation
テンプレート:Citation
テンプレート:Cite book
テンプレート:Cite book
Killing, Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen Mathematische Annalen, Part 1: Volume 31, Number 2 June 1888, Pages 252-290 テンプレート:DOI; Part 2: Volume 33, Number 1 March 1888, Pages 1–48 テンプレート:DOI; Part3: Volume 34, Number 1 March 1889, Pages 57–122 テンプレート:DOI; Part 4: Volume 36, Number 2 June 1890,Pages 161-189 テンプレート:DOI
テンプレート:Citation.
テンプレート:Cite book

外部リンク

テンプレート:Commonscat-inline

テンプレート:Normdaten

↑ テンプレート:Cite journal
↑ これはテンプレート:Harvnb Proposition 8.23 から従う．
↑ テンプレート:Citation.
↑ Conway, John Horton; Sloane, Neil James Alexander; & Bannai, Eiichi. Sphere packings, lattices, and groups. Springer, 1999, Section 6.3.

[1] テンプレート:Cite journal

[2] これはテンプレート:Harvnb Proposition 8.23 から従う．

[3] テンプレート:Citation.

[4] Conway, John Horton; Sloane, Neil James Alexander; & Bannai, Eiichi. Sphere packings, lattices, and groups. Springer, 1999, Section 6.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

ルート系

目次

定義と基本的な例