ウェイト (表現論)

表現論という数学の分野において，体 テンプレート:Mvar 上の代数 テンプレート:Mvar のウェイト（テンプレート:Lang-en-short）とは，テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar へのテンプレート:仮リンクである，あるいは同じことだが，テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 上の1次元表現であるテンプレート:要出典．それは群のテンプレート:仮リンクの代数の類似である．しかしながら，概念の重要性は，リー環の表現への，したがって代数群やリー群の表現への，その応用から生じる．この文脈では，表現のウェイトは固有値の概念の一般化であり，対応する固有空間はウェイト空間と呼ばれる．

動機づけと一般概念

ウェイト

対角化可能な行列の集合 テンプレート:Mvar であって，任意の2つが可換な場合，テンプレート:Mvar のすべての元を同時に対角化することができる．同じことであるが，有限次元ベクトル空間 テンプレート:Mvar の互いに可換な半単純線型変換の任意の集合 テンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Mvar の基底をテンプレート:Mvar のすべての元に対してテンプレート:Anchors同時固有ベクトルになるように選ぶことができる．これらの共通の各固有ベクトル テンプレート:Math は テンプレート:Math の自己準同型の集合 テンプレート:Mvar によって生成される部分代数 テンプレート:Mvar 上の線型汎関数を定義する；この汎関数は テンプレート:Mvar の各元に固有ベクトル テンプレート:Mvar の固有値を対応させる写像として定義される．この写像は乗法的でもあり，恒等写像を 1 に送る；したがってそれは テンプレート:Mvar から基礎体への代数準同型である．この「一般固有値」はウェイトの概念のプロトタイプである．

概念は群論におけるテンプレート:仮リンクのアイデアと密接に関係している．これは群 テンプレート:Mvar から体 テンプレート:Math の乗法群への準同型 テンプレート:Mvar である．したがって テンプレート:Math は テンプレート:Math（ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の単位元）と

テンプレート:Mvar のすべての元 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math

を満たす．実際，テンプレート:Mvar が テンプレート:Math 上のベクトル空間 テンプレート:Mvar に作用していると，テンプレート:Mvar の各元に対する同時固有空間は，存在すれば，テンプレート:Mvar 上の乗法的指標を決定する：群の各元のこの共通の固有空間上の固有値である．

乗法的指標の概念は テンプレート:Mathbf 上の任意の代数 テンプレート:Mvar に，テンプレート:Math を線型写像

テンプレート:Math

に置き換えることによって，拡張できる．代数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mathbf 上のベクトル空間 テンプレート:Mvar 上に任意の同時固有空間に作用しているとき，これは テンプレート:Mvar から テンプレート:Mathbf への テンプレート:Mvar の各元をその固有値に送る代数準同型に対応する．

テンプレート:Mvar がリー環（一般には結合代数ではない）であるとき，指標の乗法性を要求する代わりに，リーブラケットを対応する交換子に送ることを要求する；しかし テンプレート:Mathbf は可換であるからこれは単にこの写像がリーブラケットで消えること：テンプレート:Math を意味する．体 テンプレート:Mathbf 上のリー環 テンプレート:Mathbf のウェイトは，線型写像 テンプレート:Math であってすべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math となるものである．リー環 テンプレート:Mathbf 上の任意のウェイトは導来環 テンプレート:Math 上消えるから可換リー環 テンプレート:Math 上のウェイトを誘導する．したがってウェイトは主に可換リー環に対して興味が持たれる，その場合可換な線型変換たちの空間に対する一般固有値の単純な概念に帰着する．

テンプレート:Mvar がリー群か代数群のとき，乗法的指標 テンプレート:Math は微分によってそのリー環上のウェイト テンプレート:Math を誘導する．（リー群に対して，これは テンプレート:Mvar の単位元における微分であり，代数群の場合は導分の概念を用いた抽象化である．）

リー環の表現のウェイト空間

ウェイトの集合の中で，いくつかは表現のデータに関係する．テンプレート:Mvar を体 テンプレート:Mathbf 上のリー環 テンプレート:Mathbf の表現とし，テンプレート:Mvar を テンプレート:Mathbf のウェイトとする．このとき テンプレート:Mvar のウェイト テンプレート:Math（ただし テンプレート:Mathbf は テンプレート:Mathbf のカルタン部分環）のウェイト空間とは，部分空間

$V_{\lambda }:=\{v\in V:\mathrm{\forall }\xi \in 𝔥,\xi \cdot v=\lambda (\xi )v\}$

である（ただし $\xi \cdot v$ は テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mvar への作用を表す）．表現 テンプレート:Mvar のウェイトとはウェイト テンプレート:Mvar であって対応するウェイト空間が非零なもののことである．ウェイト空間の非零元はウェイトベクトルと呼ばれる．

テンプレート:Mvar がそのウェイト空間の直和

$V=\underset{\lambda \in {𝔥}^{*}}{⨁}{V}_{\lambda }$

であるとき，テンプレート:Anchorsウェイト加群と呼ばれる；これは環のすべての表された元に対する共通の固有基底（同時固有ベクトルの基底）が存在すること，つまり，同時対角化可能な行列が存在することに対応する．

同様に，リー群や結合代数の任意の表現に対してウェイト空間 テンプレート:Mvar を定義できる．

半単純リー環

$𝔤$ をリー環とし，$𝔥$ を半単純元からなる極大可換リー部分環（カルタン部分環と呼ばれる）とし，テンプレート:Mvar を $𝔤$ の有限次元表現とする．$𝔤$ が半単純であるとき，テンプレート:Math であり，したがって $𝔤$ のすべてのウェイトは自明である．しかしながら，テンプレート:Mvar は，制限によって，$𝔥$ の表現であり，テンプレート:Mvar が $𝔥$ についてのウェイト加群であること，すなわちそのウェイト空間の直和に等しいことはよく知られている．用語の濫用により，$𝔥$ の表現としての テンプレート:Mvar のウェイトをしばしば $𝔤$ の表現としての テンプレート:Mvar のウェイトと呼ぶ．

類似の定義はリー群 テンプレート:Mvar, 極大可換リー部分群 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の任意の表現 テンプレート:Mvar に適用する．明らかに，テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の表現 テンプレート:Mvar のウェイトであるとき，テンプレート:Mvar のリー環 $𝔤$ の表現としての テンプレート:Mvar のウェイトでもある．

テンプレート:Mvar が $𝔤$ の随伴表現であるとき，そのウェイトはルートと呼ばれ，ウェイト空間はルート空間と呼ばれ，ウェイトベクトルはルートベクトルと呼ばれる．

今 $𝔤$ は半単純とし，選ばれたカルタン部分環 $𝔥$ と対応するルート系を持つとする．正ルート テンプレート:Math の選択も固定する．これは単純ルートの集合の選択と同値である．

ウェイトの空間の順序

テンプレート:Math を テンプレート:Math の$𝔤$ のルートで生成される実部分空間（それが複素のとき）とする．

テンプレート:Math の順序を定義する2つの方法がある．

1つ目は

テンプレート:Math を テンプレート:Math が単純ルートの非負線型結合であることとする．

2つ目は元 テンプレート:Math により

テンプレート:Math を テンプレート:Math と定める．

通常，テンプレート:Mvar はすべての正ルート テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math となるように選ばれる．

整ウェイト

ウェイト テンプレート:Math が整（あるいは テンプレート:Mathbf-整）であるとは，テンプレート:Mvar が正ルートなる各コルート テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math となることをいう．

基本ウェイト テンプレート:Math は次の性質によって定義される：それらは単純コルート $H_{{\alpha }_1},\dots ,H_{{\alpha }_n}$ の集合に双対な テンプレート:Math の基底をなす．

したがって テンプレート:Mvar が整であるとは，基本ウェイトの整数結合であることである．すべての テンプレート:Mathbf-整なウェイトの集合は テンプレート:Math における格子であり，テンプレート:Mathbf のウェイト格子と呼ばれ，テンプレート:Math と書かれる．

リー群 テンプレート:Mvar のウェイト テンプレート:Mvarテンプレート:Clarify が整であるとは，テンプレート:Math なる各 テンプレート:Math に対して，$\lambda (t)\in 2\pi i𝐙$ となることをいう．半単純な テンプレート:Mvar に対して，すべての テンプレート:Mvar-整ウェイトの集合は部分格子 テンプレート:Math である．テンプレート:Mvar が単連結ならば，テンプレート:Math である．テンプレート:Mvar が単連結でなければ，格子 テンプレート:Math は テンプレート:Math よりも小さく，それらの商は テンプレート:Mvar の基本群に同型である．

優ウェイト

ウェイト テンプレート:Mvar が優であるとは，テンプレート:Mvar が正ルートなる各コルート テンプレート:Mvar に対して $\lambda (H_{\gamma })\ge 0$ であることをいう．同じことであるが，基本ウェイトの非負線型結合であることをいう．

優ウェイトの凸包は fundamental Weyl chamber と呼ばれる．

用語「優ウェイト」は，（上の意味で）優かつ整なウェイトを表すために用いられることもある．

最高ウェイト

表現 テンプレート:Mvar のウェイト テンプレート:Mvar が最高ウェイトであるとは，上で与えられた半順序において テンプレート:Mvar よりも大きい テンプレート:Mvar の他のウェイトが存在しないことをいう．ときどき，テンプレート:Mvar のすべての他のウェイトが テンプレート:Mvar よりも真に小さいというより強い条件を課す．「最高ウェイト」という用語はしばしば「最高ウェイト加群」の最高ウェイトを意味する．

最低ウェイトは同様に定義される．

すべての可能なウェイトからなる空間はベクトル空間である．このベクトル空間の全順序であって，少なくとも1つの非零係数を持つ正ベクトルの非負の線型結合は別の正ベクトルであるようなものを固定しよう．

すると，表現が「最高ウェイト テンプレート:Mvar」を持つとは，テンプレート:Mvar がウェイトであり，すべての他のウェイトは テンプレート:Mvar よりも小さいことをいう．

同様に，「最低ウェイト テンプレート:Mvar」を持つとは，テンプレート:Mvar がウェイトであり，すべての他のウェイトは テンプレート:Mvar よりも大きいことをいう．

ウェイト テンプレート:Mvar のウェイトベクトル テンプレート:Math は，テンプレート:Mvar の他の全てのウェイトが テンプレート:Mvar よりも小さいとき，最高ウェイトベクトルと呼ばれる．

最高ウェイト加群

テンプレート:Mathbf の表現 テンプレート:Mvar が最高ウェイト加群であるとは，テンプレート:Mathbf のすべての正ルートの空間の作用で零化されるウェイトベクトル テンプレート:Math によって生成されることをいう．半単純リー環 テンプレート:Mathbf のすべての有限次元既約表現は最高ウェイト加群であり，表現はその最高ウェイトによって分類できる ("theorem of the highest weight")．

これは最高ウェイトを持つ テンプレート:Mathbf 加群よりいくぶん特別である．

同様にリー群の表現に対して最高ウェイト加群を定義できる．

ヴァーマ加群

各優ウェイト テンプレート:Math に対し，最高ウェイト テンプレート:Mvar を持つ単純最高ウェイト テンプレート:Mathbf 加群が（同型を除いて）一意に存在し，テンプレート:Math と書かれる．

最高ウェイト テンプレート:Mvar をもつ各最高ウェイト加群はテンプレート:仮リンク テンプレート:Math の商であることを示すことができる．これは単にヴァーマ加群の定義における普遍性を述べ直したものである．

最高ウェイト加群はウェイト加群である．最高ウェイト加群におけるウェイト空間はつねに有限次元である．

関連項目

• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Fulton-Harris.
• テンプレート:Citation.
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