ループ代数

数学において，ループ代数 (ループだいすう、テンプレート:Lang-en とは，ある種のリー環であり，特に理論物理学において興味を持たれる．

定義

テンプレート:Math を複素リー環とし，テンプレート:Math を円周多様体 テンプレート:Math 上の滑らかな（複素）関数の代数とする．このとき，テンプレート:Mathbf と テンプレート:Math のテンソル積

$𝔤\otimes C^{\mathrm{\infty }}(S^1)$

は，リーブラケットが

$[g_1\otimes f_1,g_2\otimes f_2]=[g_1,g_2]\otimes f_1{f}_2$

で与えられる無限次元リー環である．ここで テンプレート:Math と テンプレート:Math は テンプレート:Math の元で，テンプレート:Math と テンプレート:Math は テンプレート:Math の元である．

これは テンプレート:Math の各点に テンプレート:Mathbf を乗せた テンプレート:Mathbf の無限個のコピーの直積に対応するものではない，なぜならば滑らかさの制約があるからである．そうではなく，テンプレート:Math から テンプレート:Math への滑らかな関数，言い換えると，テンプレート:Mathbf 内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる．これがループ代数の名前の由来である．

なお，部分代数

$𝔤\otimes ℂ[t,t^{-1}]$

もループ代数と呼ばれる．

ループ群

同様に，テンプレート:Math からリー群 テンプレート:Math へのすべての滑らかな写像の集合は無限次元リー群をなし（その上の汎関数微分を定義できるという意味でリー群である），テンプレート:仮リンクと呼ばれる．ループ群のリー環は対応するループ代数である．

フーリエ変換

このループ代数上のフーリエ変換を，$g\otimes t^n$ を $g\otimes e^{-in\sigma }$ と定義することで取ることができる．ただし テンプレート:Math は テンプレート:Math の座標である．

応用

テンプレート:Math が半単純リー環ならば，そのループ代数の非自明な中心拡大はアフィンリー環を生じる．

参考文献

• テンプレート:Citation