実閉体

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テンプレート:Redirect 数学における実閉体（じつへいたい、テンプレート:Lang-en-short）は実数体と一階の性質が同じである体を言う。実数体、実代数的数体、超実数体などがその例を与える。

定義

与えられた体 テンプレート:Mvar が実閉体であるとは、以下のたがいに同値な条件の何れか、したがって全部を満足するときに言う:

  1. テンプレート:Mvar は実数の全体とテンプレート:Ill2である。別な言い方をすれば、実数体と同じ一階の性質を持つこと、つまり一階言語で書ける任意の文が テンプレート:Mvar において真となるための必要十分条件はそれが実数体において真となることである。(代数型 (signature) の選択は重要でない)
  2. テンプレート:Mvar 上の全順序が存在して テンプレート:Mvar は順序体となり、かつその順序に関する テンプレート:Mvar の任意の正元が テンプレート:Mvar 内に平方根を持つこと、および任意の奇数次 テンプレート:Mvar-係数多項式が少なくとも一つの根を テンプレート:Mvar 内に持つことが真である。
  3. テンプレート:Mvar は実体であって、任意の奇数次 テンプレート:Mvar-係数多項式が テンプレート:Mvar 内に少なくと一つの根を持ち、かつ各 テンプレート:Math に対して適当な テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math または テンプレート:Math が成り立つ。
  4. テンプレート:Mvar は代数閉でないがその代数閉包は有限次拡大として得られる。
  5. テンプレート:Mvar は代数閉でないが拡大体 テンプレート:Math は代数閉である。
  6. テンプレート:Mvar の順序付けで テンプレート:Mvar の真の代数拡大上の如何なる順序付けにも延長することができないものが存在する。
  7. テンプレート:Mvar は実体であって、かつその真の代数拡大で形式的に実となる体は存在しない。(すなわち、そのような体は代数閉包において形式的に実という性質に関して極大なものである)
  8. テンプレート:Mvar 上の適当な順序付けが存在して テンプレート:Mvar は順序体となり、かつその順序に関する意味で テンプレート:Mvar 上の次数 テンプレート:Math なる任意の多項式に対して中間値の定理が満足される。
  9. テンプレート:Mvar はテンプレート:Ill2である。

順序体に対するテンプレート:Vancは、1926年にエミール・アルティンおよびテンプレート:Ill2が証明したことに名を因む。

定理 (Artin–Schreier)テンプレート:Sfn
テンプレート:Mvar が順序体ならば、テンプレート:Mvar の実閉包と呼ばれる代数拡大体 テンプレート:Mvar が存在して、テンプレート:Mvar は実閉体かつ テンプレート:Mvar の順序の延長となる適当な順序に関して順序体となり、かつそのような テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上自明となる体の同型を除いて一意である。

テンプレート:Efn 例えば、有理数全体の成す順序体の実閉包は実代数的数体 テンプレート:Math である。

順序体 テンプレート:Math と テンプレート:Mvar のガロワ拡大 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar の部分体 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の延長となる テンプレート:Mvar 上の順序 テンプレート:Mvar からなる拡大順序体 テンプレート:Math で包含関係に関して極大なものが（ツォルンの補題を適用することにより）存在する。この順序体 テンプレート:Math（あるいは短く テンプレート:Mvar）は テンプレート:Math（あるいは短く テンプレート:Mvar）の テンプレート:Mvar における（相対）実閉包と呼ぶ。テンプレート:Mvar がちょうど テンプレート:Mvar に一致するとき、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に対して実閉であるという。また テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の代数閉包のとき、テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の相対実閉包は、実際に上で述べたところの テンプレート:Mvar の実閉包となるテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar が単に体である（体の演算と両立する順序の存在も仮定しないし、テンプレート:Mvar が順序付け可能とも仮定しない）ときでも、やはり テンプレート:Mvar は実閉包（それはもはや体ではないかもしれない）を持ち、それはテンプレート:Ill2として得られる。例えば、二次体 テンプレート:Math の実閉包は、実閉環 テンプレート:Math である（テンプレート:Math のコピーが二つあるのは、テンプレート:Math の二つの順序付けに対応している）。他方、テンプレート:Math を テンプレート:Mathbf の部分順序体と考えるときの、その実閉包はふたたび テンプレート:Math となる。

モデル理論: 決定可能性および量限定子消去

実閉体の理論は初めは代数学の中で発展したものだけれども、重要な示唆はモデル理論からもたらされた。順序体の公理系に

  • 任意の正元が平方根を持つことを要請する公理
  • 任意の奇数次多項式が少なくとも一つの根を持つことを要請する公理図式

を加えることにより、一階の理論が得られる。テンプレート:Harvtxt は、テンプレート:Ill2に関する一階の言語（二項述語記号 "テンプレート:Math", "テンプレート:Math", 加法、減法、乗法の演算および定数記号 テンプレート:Math からなる）において、実閉体の理論が テンプレート:Ill2を許すことを示した。このことのもっとも重要なモデル理論的帰結は、実閉体の理論がテンプレート:Ill2、テンプレート:Ill2かつ決定可能なることである。

決定可能性が意味するのは少なくとも一つの決定手順が存在すること、すなわち実閉体に関する一階言語で書かれた文が真であるかどうかを決定するためのwell-definedなアルゴリズムが存在することである。ユークリッド幾何学（角度の決定可能性は除く）もまた実体の公理のモデルであって[1]、したがって決定可能である。

この決定手順が「実用的」であるかは問わない。実閉体に対する決定手順は何れも計算量が極めて大きいことが知られているから、非常に単純な問題を除けば実際の実行時間は極めて長くなりうる。

タルスキーのアルゴリズムはテンプレート:Ill2が複雑性クラス テンプレート:Ill2 に属する可能性を示唆している。つまり、問題の大きさを テンプレート:Mvar とするとき、アルゴリズムの実行時間を上から評価するような冪の塔 22⋅⋅⋅n は存在しない。テンプレート:Harvtxt は量限定子消去が実は（少なくとも）二重指数的であることを示した。つまり、[[ランダウの記法|テンプレート:Math 漸近記法]]を用いれば、テンプレート:Mvar 個の量限定子を持つ式の族 テンプレート:Math で長さ テンプレート:Math のものと一定の次数が存在して、テンプレート:Math に同値な量限定子を持たない任意の式が次数 テンプレート:Math かつ長さ テンプレート:Math の多項式を必ず含む。テンプレート:Harvtxt は実閉体の理論が EXPSPACE において（したがって二重指数時間で）決定可能であることを示した。

Basu and Roy (1996)テンプレート:Full は テンプレート:Math なる式（ただし、テンプレート:Math は テンプレート:Math2 の何れか）が真かを決定するためのよく振る舞うアルゴリズムで、算術演算 テンプレート:Math の複雑性に属するものが存在することを示した。実はテンプレート:Ill2は PSPACE で決定できる。

追加の函数記号（例えば正弦函数 テンプレート:Math や指数函数 テンプレート:Math）を加えて、テンプレート:Ill2することができる。

まだほかにも、実閉体の重要なモデル理論的性質として、それがテンプレート:Ill2を持つことが挙げられる。逆に、任意の弱 o-極小順序体は実閉でなければならないテンプレート:Sfn。

順序論的性質

実数体の著しく重要な性質は、それがアルキメデス体であること、つまり任意の実数に対して絶対値がそれより大きい整数が存在するというアルキメデスの性質をもつことである。任意の実数に対してそれよりも大きい整数と小さい整数の両方が存在する、と言っても同じことである。アルキメデス的でない実閉体は非アルキメデス順序体である。例えば、超実数からなる任意の体は実閉かつ非アルキメデスである。

アルキメデスの性質は共終数の概念と関係がある。順序集合 テンプレート:Mvar に含まれる集合 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar において共終であるとは、各 テンプレート:Math に対し テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math となることである。つまり、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar における非有界列を成す。テンプレート:Mvar の共終数は、最小の共終集合の大きさ（つまり、非有界列を与えることのできる集合の最小濃度）である。例えば自然数は実数全体の成す順序集合において共終であり、したがって実数体の共終数は テンプレート:Math である。

いま実閉体 テンプレート:Mvar の特質を定義する不変量として「テンプレート:Mvar の濃度」と「テンプレート:Mvar の共終数」を得た。これに加えて「テンプレート:Mvar の重み (weight)」は テンプレート:Mvar の稠密部分集合の大きさの最小値で与えられる。これら三種の基数は、任意の実閉体の順序に関する性質の多くを教えてくれるが、それがどのようなものであるかを発見するのは難しいかもしれない（特に一般化連続体仮説を含めない場合には）。成り立つかもしれないし成り立たないかもしれない特定の性質も存在する:

一般化連続体仮説

実閉体の特徴付けは一般化連続体仮説を仮定することを受け入れるならば非常に簡単になる。連続体仮説が満足されるならば、連続体濃度と テンプレート:Math-性質を持つ任意の実閉体は、互いに順序同型である。この意味で一意な実閉体 テンプレート:Mvar は超冪の意味で テンプレート:Math と定義できる（ただし、テンプレート:Mathbf は テンプレート:Mathbf に順序同型な体を導かない極大イデアルとする）。これが超準解析においてもっとも一般的に用いられる超実数体であり、その一意性は連続体仮説に同値である。テンプレート:Efn

さらに言えば、テンプレート:Mvar の構成に超冪が必要というわけでもなく、より構成的に、濃度 テンプレート:Math の テンプレート:Math-群となる全順序可除アーベル群 テンプレート:Mvar 上の形式冪級数体 テンプレート:Math の、可算個の例外を除く全ての項が零であるような級数全体の成す部分体として構成することもできるテンプレート:Sfn。

しかしこの テンプレート:Mvar は完備体ではなく、またそれに完備化を施して得られる体 テンプレート:Mvar は濃度がより大きいものとなる。テンプレート:Mvar が連続体濃度（いま仮定によりそれは テンプレート:Math である）を持てば、その完備化 テンプレート:Mvar は濃度 テンプレート:Math で テンプレート:Mvar を稠密部分体として含む。これは超冪のでないとはいえ、やはりこれは「超実体」であり、したがって超準解析で用いるに適した体である。これは実数体の高次元版とみることもできる。つまり、濃度が テンプレート:Math でなく テンプレート:Math で、共終数が テンプレート:Math でなく テンプレート:Math で、重みが テンプレート:Math でなく テンプレート:Math であり、テンプレート:Math-性質（これは単に任意の二実数の間に別の実数が存在することを言うもの）の代わりに テンプレート:Math- 性質を満たす。

例

テンプレート:Vancには以下のようなものが挙げられる:

注

注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

関連文献

外部リンク

  1. ↑ テンプレート:Nlab
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