底に関する指数函数

Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu).

実解析における底 テンプレート:Mvar の指数函数（しすうかんすう、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math は、実数 テンプレート:Mvar を実数 テンプレート:Mvar へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは テンプレート:Mvar が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、${\exp }_a(x)=a^x=e^{x\ln (a)}$ と書くことができる。テンプレート:Mvar を底とする指数函数を、テンプレート:Math において値 テンプレート:Mvar をとり、和を積に変換する、テンプレート:Math 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。テンプレート:Math に対し、底 テンプレート:Mvar の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらをテンプレート:Ill2（真数函数）と呼ぶこともある。テンプレート:Math のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、テンプレート:Math において値 テンプレート:Math をとる唯一の テンプレート:Math 上の可微分函数である。

これらは母集団の大きさに比例する増大率を持つ物理的・生物学的現象のモデルとして用いることができる。

より一般に、適当なスカラー倍 テンプレート:Math も含めた意味で指数函数と呼ぶ場合もあるが、本項ではそのような意味では用いない。

冪乗から指数函数へ

狭義正の実数 テンプレート:Mvar を考える。テンプレート:Math 以上の整数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar をそれ自身 テンプレート:Mvar 個掛けたもの $${\exp }_a(n)=a^n:=\underset{n\text{ factors}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$$ と定義するのは容易い。さらに $a^0:=1$ および $a^{-n}:=\frac{1}{a^n}$ と定める。性質 $a^{n+m}=a^n\times a^m$ が成り立つことを見るのは容易い。 テンプレート:Math proof 非整数 (有理数) テンプレート:Math の冪乗 (有理数乗冪) テンプレート:Math は、$${\exp }_a(1/q)=a^{1/q}=\sqrt[q]{a},$$ および $${\exp }_a(p/q)=a^{p/q}=(\sqrt[q]{a}{)}^p=\sqrt[q]{a^p}$$ という「穴埋め」を行えば任意の有理数に対しては定義できる。

実数 テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar の定義には連続性に関する議論を用いる。すなわち、テンプレート:Mvar に限りなく近い有理数 テンプレート:Mvar をとって、テンプレート:Mvar の値は テンプレート:Mvar の極限と定めるのである。

このような テンプレート:Mvar が何であるべきかという直観的アイデアの登場は非常に早く、冪記法の登場と同時期の17世紀には知られていたテンプレート:Efnが、テンプレート:Math が

• 函数であること
• 恒等式 テンプレート:Math が満たされる、すなわち和が積へ写ること
• 連続であること
• 対数函数（これは積を和に写す）の逆函数であること
• 微分可能であり、かつ導函数が原函数に比例すること

などが認識されるには次の18世紀半ばを待たねばならなかった。

定義

指数函数の定義の仕方には複数の観点が考えられ、和を積に写すという代数的性質によるもの、導函数に比例するという微分の性質に基づくもの、指数函数と対数函数の関係に基づくものなどが挙げられる。

代数的性質による

定義 1.

実指数函数とは テンプレート:Mathbf から テンプレート:Mathbf への恒等的に零でない函数で、少なくとも一点において連続、かつ和を積に写す: つまり$$f(u+v)=f(u)\times f(v)(\mathrm{\forall }u,v\in ℝ)$$

を満足する任意の函数をいう。そのような函数 テンプレート:Mvar は至る所連続かつ狭義正値であって、任意の実数 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math でただ一つ定まる テンプレート:Mvar は底 テンプレート:Mvar に対する指数函数 テンプレート:Math と呼ぶ。

言い換えれば、これら函数は テンプレート:Math から テンプレート:Math への群準同型であり、また指数函数全体の成す集合は テンプレート:Math に テンプレート:Math を通じて全単射である。関係式 $$f(u)=f\left(2\frac{u}{2}\right)={\left[f\left(\frac{u}{2}\right)\right]}^2$$ は函数の正値性を保証する。函数方程式から、一点において函数が非零ならば任意の点で非零となることも保証される。

さて、前節で述べたような仕方で、任意の テンプレート:Math に対し、有理数上で定義された函数 テンプレート:Mvar で上記の函数方程式を満足し、テンプレート:Math において値 テンプレート:Mvar をとる函数の存在と一意性が保証される。

連続性の証明 —と、テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mathbf における稠密性により— 上記の函数方程式を満足し、テンプレート:Math において値 テンプレート:Mvar を取り、少なくとも一点で連続な函数の一意性が保証される。その存在性はテンプレート:Ill2から得られる:

ここで、定数函数 テンプレート:Math（これは テンプレート:Math に対応する）を除いたこれらすべての函数 テンプレート:Math が全単射であることに注意を与えることができる。したがってこれらは、テンプレート:Math から テンプレート:Math への群同型を与える。

それにより、テンプレート:Mvar が微分可能で微分方程式 $$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)\times f(x)\text{ただし}f(0)=1$$ を満足することを示せる: テンプレート:Math proofテンプレート:Math proof

自然指数・対数函数による

定義 2.

真に正の実数 テンプレート:Mvar に対し、底 テンプレート:Mvar に関する指数函数とは、テンプレート:Mathbf 上定義された函数 $$f(x)=e^{x\ln (a)}$$ を言う。ここに テンプレート:Math は自然指数で テンプレート:Math は自然対数函数である。

これら函数は連続で、和を積に写し、テンプレート:Math において値 テンプレート:Mvar をとる。

微分方程式による

定義 3.

指数函数とは以下の微分方程式および初期条件 $$f^{\prime }=kf(f(0)=1)$$ を適当な テンプレート:Mvar に対して満足する任意の可微分函数を言う。

このような函数に対して、テンプレート:Mvar はその導函数の テンプレート:Math における値に等しいことに注意する。

テンプレート:Math に対して解 (函数 テンプレート:Math) が存在することのみ知れていれば、任意の テンプレート:Mvar に対する解は明らかに函数 テンプレート:Math で与えられる。それが唯一の解であることが示せる。さらに言えば、この解が和を積に写すこと、したがってそれが テンプレート:Math に対する代数的性質による定義と一致することが確かめられる。

対数函数の逆函数

定義 4.

テンプレート:Math は真に正の実数とすると、底 テンプレート:Mvar に対する対数函数 テンプレート:Math は全単射である。底 テンプレート:Mvar に対する指数函数 テンプレート:Math とは、その逆函数を言う:$$y={\exp }_a(x)(x\in ℝ):\stackrel{\text{def}}{⟺}x={\log }_a(y)(y\in ]0,+\mathrm{\infty }[).$$

対数函数は、連続で、積を和に写し、テンプレート:Mvar において値 テンプレート:Math をとるから、その逆函数は、連続で、和を積に写し、テンプレート:Math において値 テンプレート:Mvar をとることが分かる。

性質

代数的性質

• 任意の真に正な実数 テンプレート:Mvar と任意の実数 テンプレート:Mvar に対し: $$a^x=\exp (x\ln (a))=e^{x\ln (a)},a^x=b^{x{\log }_b(a)},a^{xy}=(a^x{)}^y$$ が成り立つ。
• 写像 テンプレート:Math は テンプレート:Math から テンプレート:Math へのアーベル群の準同型である: $$a^{x+y}=a^x{a}^y,a^0=1,\frac{1}{a^x}=a^{-x}.$$
• これら準同型 テンプレート:Math の全体は、テンプレート:Math を通じて テンプレート:Math に群同型: $$a^x{b}^x=(ab{)}^x,1^x=1,\frac{1}{a^x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x,a^1=a.$$したがって、テンプレート:Math にも同型である（テンプレート:Ill2）。

函数の挙動

底 テンプレート:Mvar の指数函数は テンプレート:Mathbf 上テンプレート:Ill2であり、導函数は $${{\exp }_a}^{\prime }(x)=\ln (a){\exp }_a(x)$$ を満たす。

指数函数は常に正値であるから、その導函数の符号は テンプレート:Math の符号のみによって決まる。したがって指数函数は、底 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math より真に大きいとき狭義単調増大で、テンプレート:Math より真に小さいときには狭義単調減少、テンプレート:Math のとき定数函数 テンプレート:Math である。

底 テンプレート:Mvar の指数函数の極限は テンプレート:Mvar と テンプレート:Math との位置関係で決まる:

• テンプレート:Math ならば $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=+\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$;
• テンプレート:Math ならば $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=+\mathrm{\infty }.$

指数函数は冪函数に対して テンプレート:Math へ飛ばす極限で指数函数のほうが早く発散するという予測可能な挙動を示す:

テンプレート:Ill2

任意の実数 テンプレート:Math および テンプレート:Math に対して $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a^x}{x^b}=+\mathrm{\infty }$$ が成り立つ。

指数函数はテンプレート:Ill2（したがって凸）かつテンプレート:Ill2である。

外部リンク

• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:ProofWiki