フルーリーの多重複素数

テンプレート:For 数学における多重複素数（たじゅうふくそすう、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math は、Norbert Fleury が テンプレート:Harv で導入した、任意の自然数（テンプレート:Math を含まない）テンプレート:Math に対して定義される超複素数系の系列で、それぞれ テンプレート:Mathbf 上 テンプレート:Mvar-次元の可換結合多元環を成す。

定義

一つの元 テンプレート:Mvarテンプレート:Efn は テンプレート:Math を満たし、かつその冪からなる有限列 テンプレート:Math は線型独立とする。このとき、テンプレート:Math は、この列を生成系とする実多元環として定義されるテンプレート:Efnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

代数的性質

• 各代数 テンプレート:Math はテンプレート:Ill2の例になっているテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Math であるから、各代数 テンプレート:Math は商多元環 テンプレート:Math に自然同型である。
• テンプレート:Ill2が非零となる任意の多重複素数は極形式 $x=\rho \exp ({\sum }_{i=1}^{n-1}{\varphi }_i{e}^i)$ に書けるテンプレート:Sfn。

直和およびテンソル積

• 各代数 テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf および テンプレート:Mathbf からなる代数の直和テンプレート:Efn になるテンプレート:Sfnテンプレート:Efn:
  • テンプレート:Mvar が偶数のとき:

    $ℳ{ℂ}_n\cong \underset{\frac{n}{2}\text{ summands}}{\underbrace{ℂ\oplus ℂ\oplus \cdots \oplus ℂ}}={⨁}^{\frac{n}{2}}ℂ={ℂ}^{\frac{n}{2}};$

  • テンプレート:Mvar が奇数のとき:

    $ℳ{ℂ}_n\cong ℝ\oplus \underset{\frac{n-1}{2}\text{ summands}}{\underbrace{ℂ\oplus ℂ\oplus \cdots \oplus ℂ}}=ℝ\oplus {⨁}^{\frac{n-1}{2}}ℂ=ℝ\times {ℂ}^{\frac{n-1}{2}}=ℝ\oplus ℳ{ℂ}_{n-1};$

  • あるいはまとめて: テンプレート:Math.
• ここから直ちに従うこととして:
  • テンプレート:Mvar が何れか奇数でないならば テンプレート:Math;
  • テンプレート:Mvar がともに奇数のとき $ℳ{ℂ}_m\oplus ℳ{ℂ}_n\cong ℳ{ℂ}_{m+n-2}\oplus ℂ╲$テンプレート:Efn。
• 上記の性質を利用して、代数のテンソル積 テンプレート:Math が代数の直和 テンプレート:Math の上に分配的であること、および同型テンプレート:Efn テンプレート:Math がわかる。そこから テンプレート:Math を示すのは容易。

テンプレート:Math との関係

• テンプレート:Math.

部分環

• テンプレート:Math.
• テンプレート:Math.
• D’où テンプレート:Math.
• テンプレート:Math.

特に 𝓜ℂテンプレート:Ind に関して

19世紀に複素数を二次元の平面という幾何学的な形に表す考えが優位となったのち、数学者はこれを三次元の空間に対応する超複素数系に拡張しようと試みたがことごとく失敗に終わった。最終的には、超複素数の代数の成す次元とそれが表す幾何学的空間の次元が等しいという仮定を捨て去って、四次元の数である四元数が、そしてそのテンプレート:Ill2とのテンプレート:Ill2が発見されることとなる。そのような四元数の成功にもかかわらず、空間における幾何学的操作に相同する性質を示す次元数 テンプレート:Math の超複素数系を探索する者たちが引き続き存在しており、そのうちの幾人かはそれぞれ独立に テンプレート:Mathテンプレート:Sfn またはそれに自明なテンプレート:Sfnテンプレート:Efn同型を持つ代数にたどり着いている。

参考文献

• テンプレート:En icon テンプレート:Cite journal
• テンプレート:En icon テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Ouvrage
• テンプレート:Ouvrageテンプレート:Efn
• テンプレート:Ouvrage

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関連項目

• 巡回多元環