巡回多元環

テンプレート:出典の明記数学、とくに代数的整数論において、巡回多元環（じゅんかいたげんかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環の一種で、一般四元数環の一般化。

定義

x = \sum_{k = 0}^{n - 1} x_{k} j^{k}, y = \sum_{k = 0}^{n - 1} y_{k} j^{k} (x_{k}, y_{k} \in L)

に対して

x y = \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{l = 0}^{n - 1} x_{k} σ^{k} (y_{l}) j^{k + l} (where j^{n} = β \in K^{\times})

と定めたものである。これはテンプレート:Math に対する以下の二条件

を線型に拡張したものとして与えられる。特に、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の乗法単位元（したがって、テンプレート:Math）。また、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の元を動かさないテンプレート:Mvar の非自明な自己同型であるから、テンプレート:Mvar の元はテンプレート:Mvar と可換。これによりテンプレート:Math がテンプレート:Mvar 上中心的であることが従う。

巡回多元環テンプレート:Math は適当なテンプレート:Math に対してテンプレート:Math となるとき行列環テンプレート:Math に同型であるテンプレート:Sfn テンプレート:Rp テンプレート:Sfn テンプレート:Rp。そうでないとき可除環であり巡回斜体 (cyclic division slgebra) と呼ばれるテンプレート:Sfn。
二つの巡回多元環テンプレート:Math, テンプレート:Math が同型となるための必要十分条件は、テンプレート:Mvar の適当な元テンプレート:Mvar が存在してテンプレート:Math と書けることであるテンプレート:Sfn テンプレート:Rp。
巡回多元環のテンソル積は適当な巡回多元環にブラウアー同値であるテンプレート:Sfn テンプレート:Rp。
体の分離拡大に関するブラウアー群（あるいは拡大のガロワ群のテンプレート:Ill2^[1]）の元（ブラウアー同値類）の代表元として接合積（とくに巡回多元環）がとれる。(see also: en:Brauer group#Cyclic algebras)

巡回多元環は、2-コサイクル（テンプレート:Ill2）に対するテンプレート:Ill2 (crossed product algebra)^[2] と呼ばれる多元環に一般化される（巡回拡大に対する接合積が巡回多元環である^[3]テンプレート:Rp）。接合積は群環の一般化でもある。