ファン・デル・ヴェルデン表示

ファン・デル・ヴェルデン表示（ファン・デル・ヴェルデンひょうじ、テンプレート:Lang-en-short）とは理論物理学において4次元における2成分スピノル（ワイル・スピノル）の表記法。ツイスター理論や超対称性理論においては標準的な記法となっている。オランダの数学者ファン・デル・ヴェルデンに由来する。

添字の点

以下ではカイラル表現（ワイル表現）により、ディラック・スピノル テンプレート:Mvar は左右のカイラリティが上下の2成分で分かれているとする。すなわち

$\psi ={\psi }_{\mathrm{L}}+{\psi }_{\mathrm{R}}=\left(\begin{array}{c}\xi \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ \overline{\eta }\end{array}\right)$,

ここで テンプレート:Math はそれぞれ2成分スピノル（ワイル・スピノル）。

点なし添字

下付の点なし（ドットなし, テンプレート:En）添字をもつスピノルはカイラリティ左巻きであり、カイラル・スピノルとも呼ばれる。

${\psi }_{\mathrm{L}}=\left(\begin{array}{c}{\xi }_{\alpha }\\ 0\end{array}\right)$.テンプレート:Efn

点付き添字

上付きの点付き（ドット付き, テンプレート:En）添字と記号の上テンプレート:Efnに上線（バー）をもつスピノルは右巻きであり、反カイラル・スピノルとも呼ばれる。

${\psi }_{\mathrm{R}}=\left(\begin{array}{c}0\\ {\overline{\eta }}^{\dot{\alpha }}\end{array}\right)$.テンプレート:Efn

添え字を欠く記法においても、曖昧さを無くすため右巻きワイル・スピノルには上線が残される。

ハット付き添字

ハットが付く添字はディラック添字と呼ばれ、点付きと点なし添字をまとめたものである。例えば、もしそれぞれの添字が

$\alpha =1,2,\dot{\alpha }=\dot{1},\dot{2}$

を動くのなら、カイラル表現の下でディラック・スピノル テンプレート:Mvar は次のように表示される:

${\psi }_{\hat{\alpha }}=\left(\begin{array}{c}{\xi }_{\alpha }\\ {\overline{\eta }}^{\dot{\alpha }}\end{array}\right)$,

ここで

$\hat{\alpha }=(\alpha ,\dot{\alpha })=1,2,\dot{1},\dot{2}$.

また テンプレート:Mvar のディラック共役 テンプレート:Math はこのとき

${\psi }^{\hat{\alpha }}=\left(\begin{array}{cc}{\eta }^{\alpha }& {\overline{\xi }}_{\dot{\alpha }}\end{array}\right)$

と表記される。すなわち テンプレート:Mathテンプレート:Efn、上線と添字の点が複素共役を意味することが分かる。

荷電共役

スピノルの荷電共役変換（テンプレート:Math 変換）は次のように表される:

$\psi \stackrel{\mathrm{C}}{⟶}{\psi }^{\mathrm{C}}=C\stackrel{\mathrm{T}}{\bar{\psi }}$,

ここで テンプレート:Mvar は荷電共役行列であり、カイラル表現においては

$C=i{\gamma }^2{\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}\epsilon & 0\\ 0& -\epsilon \end{array}\right)$

である。ただし

$\epsilon =i{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$,

ここで テンプレート:Math は2階の完全反対称テンソルである。

よって

$\psi =\left(\begin{array}{c}{\xi }_{\alpha }\\ {\overline{\eta }}^{\dot{\alpha }}\end{array}\right)\stackrel{\mathrm{C}}{⟶}{\psi }^{\mathrm{C}}=C\left(\begin{array}{c}{\eta }^{\alpha }\\ {\overline{\xi }}_{\dot{\alpha }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{\alpha \beta }{\eta }^{\beta }\\ {\epsilon }^{\dot{\alpha }\dot{\beta }}{\overline{\xi }}_{\dot{\beta }}\end{array}\right)$,

ここで テンプレート:Math はクロネッカーのデルタ テンプレート:Mvar を用いた テンプレート:Math によって定義され、テンプレート:Math を満たす。テンプレート:Efn

これまでの整合性から

$({\psi }_{\mathrm{L}}{)}^{\mathrm{C}}=\left(\begin{array}{c}0\\ {\overline{\xi }}^{\dot{\alpha }}\end{array}\right),({\psi }_{\mathrm{R}}{)}^{\mathrm{C}}=\left(\begin{array}{c}{\eta }_{\alpha }\\ 0\end{array}\right)$

とすると、

$\left(\begin{array}{c}{\eta }_{\alpha }\\ {\overline{\xi }}^{\dot{\alpha }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{\alpha \beta }{\eta }^{\beta }\\ {\epsilon }^{\dot{\alpha }\dot{\beta }}{\overline{\xi }}_{\dot{\beta }}\end{array}\right)$.

すなわち テンプレート:Math の添字の上げ下げには、2階の完全反対称テンソル テンプレート:Math が用いられることが分かる。テンプレート:Sfn

参考文献

• テンプレート:Wayback
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation - テンプレート:Fontsize
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
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関連項目

• ディラック方程式
• テンプレート:仮リンク
• ローレンツ変換
• パウリ方程式
• テンプレート:仮リンク