一般四元数群

Q_{8} = {\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k}

を一般化した有限群のこと。これは

Q_{4 m} = ⟨ a, b ∣ a^{2 m} = 1, b^{2} = a^{m}, b^{- 1} a b = a^{- 1} ⟩ (m > 1)

という表示で定義されるテンプレート:Sfn^[2]、位数テンプレート:Math で、位数がテンプレート:Math である部分群（ $Z (Q_{4 m}) = ⟨ a^{m} ⟩$ ）を唯一つ持つ群であるテンプレート:Sfn。（2群の場合しか考えないこともあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。この場合、位数テンプレート:Math の一般四元数群をテンプレート:Math と書く流儀もありテンプレート:Sfn、注意が必要である。）群の生成元を

a \mapsto [\begin{matrix} e^{π i / m} & 0 \\ 0 & e^{- π i / m} \end{matrix}], b \mapsto [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}]

のように対応させることで、忠実な行列表現を得ることができる。

四元数群

四元数群（しげんすうぐん、テンプレート:Lang-en-short）は

Q_{8} = ⟨ i, j, k ∣ i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k ⟩

という表示で定義される^[3]。これは位数テンプレート:Math の非可換群で、すべての真部分群は巡回的である。元テンプレート:Math は唯一つの対合で中心的であり、テンプレート:Math と書かれることも多い。これらの記号はハミルトンの四元数環の生成系に由来する。群の生成元を

i \mapsto [\begin{matrix} \sqrt{- 1} & 0 \\ 0 & - \sqrt{- 1} \end{matrix}], j \mapsto [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}], k \mapsto [\begin{matrix} 0 & \sqrt{- 1} \\ \sqrt{- 1} & 0 \end{matrix}]

のように対応させることで、忠実な行列表現を得ることができる。四元数群はハミルトン群、つまり、すべての部分群が正規部分群であるような非可換群の最小位数の例である。また自己同型群テンプレート:Math は4次の対称群テンプレート:Math と同型であるテンプレート:Sfn。

有限群テンプレート:Mvar の持つ[[シロー部分群|シローテンプレート:Math 部分群]]が一般四元数群と同型ならば最大の奇数位数正規部部分群 [[核 (群論)|テンプレート:Math]] による商テンプレート:Math の中心は位数テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。特に、このような有限群テンプレート:Mvar は決して単純群でない。

↑ テンプレート:Harvtxtは「4元数型の群」、テンプレート:Harvtxtは「4元数形の2群」という言い方をしている。
↑ 「2重巡回群」（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれることもあるテンプレート:Harv。
↑ 一般四元数群の対応する表示は $Q_{4 m} = ⟨ i, j, k ∣ i^{m} = j^{2} = k^{2} = i j k ⟩$ である (Groupprops)。